Ausgleichsproblem bei einem Rechteck

Aufrufe: 648     Aktiv: 23.06.2020 um 14:44

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Hallo liebe Community, 
Es handelt sich hierbei um das Ausgleichsproblem

An einem Rechteck mit den Seitenlängen a,b wird gemessen:

Seite a: 25mm

Seite b: 12mm

Umfang: 75mm

Daraus ergeben sich also drei Gleichungen:

\( \frac{75}{2}-a=b \)
\( \frac{75}{2}-b=a \)
\( 2(a+b)=75 \)

 

zusätzlich sind die Diagonalen gemessen worden mit:

Diagonale 1: 27mm

Diagonale 2: 28mm

Daraus ergeben sich dann die zwei weiteren Gleichungen:

\( \sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}=27 \)
\( \sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}=28 \)

(ich bin mir unsicher)


Weiter soll ich nun die Linearisierung der Größe h notieren. 
Die Linearisierung der Größe h ist definiert durch:

$$ h\left(x^{(n)}\right)-I+h^{\prime}\left(x^{(n)}\right) \Delta x^{(n)} \approx r\left(x^{(n+1)}\right) $$
mit
$$ \Delta x_{n}=x^{(n+1)}-x^{(n)} \quad \text { und } \quad x^{(n)}=\left(\begin{array}{c} x_{1}^{(n)} \\ \vdots \\ x_{m}^{(n)} \end{array}\right) $$

Als Hinweis wurde uns noch gesagt, dass sich für die Entwicklungsstelle (Startwert für die Iteration) \( a^{(0)}=25 \) und \( b^{(0)}=12 \) anbietet.


Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich die gemessenen Werte in die Linearisierung von h eintragen muss. Ich bin mir ebenfalls unsicher, ob die zwei letzten Gleichungen korrekt sind. Wenn mir hierbei jemand helfen könnte wäre ich sehr dankbar!

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Ich verstehe das so, dass die beiden anderen Seitenlängen c,d gesucht sind, passend zu den Bedingungen. Natürlich gibt es dann kein präzises Rechteck (weil a ungleich c, b ungleich d).

Deine Bedingungen sind nicht ganz richtig.

Umfang: Bedingung: a+b+c+d = 75

Diagonale 1: a^2+d^2 = 27^2      (und wenn schon Wurzelziehen, dann richtig!)

Diagonale 2: b^2+c^2 = 28^2

Damit haben wir drei Gleichungen mit zwei Unbekannten (c,d), was nicht erfüllbar sein wird, was also ein Ausgleichsproblem darstellt.

Hilft das schonmal? Kannst Du damit an bekannte Beispiele andocken?

h würde ich so definieren:

\( h( c,d) = \begin{pmatrix} a+b+c+d-75\\ 27-\sqrt{a^2+d^2}\\ 28-\sqrt{b^2+c^2}\end{pmatrix}\)

Für a und b ist noch 25 bzw. 12 einzusetzen. Dein x-Vektor ist \(x=\begin{pmatrix}c\\ d\end{pmatrix}\).

 

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