Nachweis von Extremstellen

Aufrufe: 175     Aktiv: 17.05.2023 um 23:08
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Hallo zusammen,
ich hätte eine Frage zum Aufgabenteil c). Ist es hier zwingend notwendig mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingungen die Extremstellen auszurechnen oder reicht es auch, wenn ich prüfe, ob zu dem Zeitpunkt beide Bedingungen erfüllt sind. 
Oder muss ich da noch eine Begründung liefern, dass es nur ein Hochpunkt gibt? 

Vielen Danke und liebe Grüße
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Du kannst den Nachweis auch durch Einsetzen führen, indem du zeigst, dass notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt sind.

Nach Hinweis in den Kommentaren: "Weitere HP, selbst wenn es sie gäbe, musst du nicht berücksichtigen, es geht ja nur um diesen" gilt nur, wenn diese außerhalb des Definitionsbereiches liegen (würden) (Eigenschaften von Funktionsgraphen z.B.)

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"Weitere HP müssen nicht berücksichtigt werden"
Randwertbetrachtung (s. andere Antwort), bei eingeschränktem Definitionsbereich gehört natürlich immer dazu, das war aber nicht die Frage, sondern darf der geforderte Nachweis durch Einsetzen statt Ausrechnen geführt werden?
Hier (Grad 4) gibt es nur 1 HP, was wäre aber (theoretisch) bei Grad 8 mit weiteren HP innerhalb des Def. Bereiches? Die würde man dann nicht berücksichtigen. Man könnte sie zwar auch nicht berechnen, aber müsste man, wenn man nur einsetzt, nicht auch belegen, dass es weitere HP nicht geben kann?   ─   monimust 17.05.2023 um 12:18
Meistens werden "zeigen Sie" Formulierungen dann gewählt, wenn berechnen nicht möglich ist. Aber tatsächlich müsste man hier noch ergänzen, dass es der einzige Hochpunkt ist (Kurvenverlauf etc., das wird oft aber auch in vorigen Punkten abgefragt). Ich hatte an trigonometrische Funktionen gedacht mit weiteren Extrema außerhalb der Periode. Solche "konstruierten" Funktionen höheren Grades sind mir noch nicht untergekommen, und wenn, würde dann wohl die Formulierung: "überprüfen Sie, ob" gewählt werden. Aber richtig ist, immer wenn man nicht explizit berechnet (und damit weitere HP ausschließt) , muss man gegebenenfalls noch etwas dazuschreiben. Ich ändere das mal in meiner Antwort.   ─   honda 17.05.2023 um 12:50
Fazit: Nein, das Einsetzen und Prüfen der Bedingungen reicht hier eben nicht, da dadurch nicht gewährleistet ist, dass dieser Hochpunkt global (was hier aber gefordert ist) ist. Bei Aufgaben im Sachkontext ist fast immer das globale Maximum (oder Minimum) gesucht (Randwerte beachten) und da reicht ein Einsetzen in der Regel nicht aus. Hier sind dann weitere Begründungen notwendig. Das geht aber häufig recht leicht: In diesem Fall kann es keine weiteren HP geben -> Achsensymmetrie des Graphen.

"Zeigen Sie"-Formulierungen werden auch dann gerne benutzt, um ein Kontrollergebnis vorzugeben, um mit weiteren Teilaufgaben weitermachen zu können, falls man diese nicht schafft. Das gilt auch für "Weisen Sie nach". Man kennt also schon das Ergebnis im Gegensatz zu "Überprüfen Sie, ob".   ─   cauchy 17.05.2023 um 13:16
Es geht darum, durch Einsetzen den Hochpunkt nachzuweisen. Auch wenn man ihn berechnen würde, müsste man mit den Randwerten anschließend vergleichen. Dass man das ggf. zusätzlich noch erläutern muss, habe ich auch geschrieben. Daher verstehe ich dein Fazit nicht, es geht doch hier nicht darum, wie man die gesamte Aufgabe löst, sondern ob man sich das Berechnen des HPs ersparen kann.   ─   honda 17.05.2023 um 13:38
Weitere Begründungen zum Kurvenverlauf brauche ich auch dann, wenn ich von den errechneten Extremstellen nur den Nachweis für den HP erbringen will, also ohne die anderen noch zu beachten Wenn sie noch im Def. Ber. liegen, müsste man ja auch zeigen, dass das TP sind. Dann wäre doch der Nachweis des HP wie hier vorgeschlagen, meist weniger aufwändig.   ─   monimust 17.05.2023 um 14:21
Das Fazit war lediglich nochmal die Zusammenfassung des Gesagten. Der Nachweis durch Einsetzen würde reichen, ist aber nicht weniger Aufwand, weil dann genau der ganze Rest fehlt. Wenn ich also die Extrema auf herkömmliche Weise berechne, sehe ich ja sofort, ob es weitere gibt, die ich ggf. betrachten muss. Es sei denn ich begründe schon vorher, dass es nur diesen einen HP gibt. Das bekommt aber in der Regel niemand hin, weshalb ich hier grundsätzlich die herkömmliche Vorgehensweise empfehlen würde. Durch die Prüfung durch Einsetzen hat man jedenfalls nichts gewonnen und riskiert viel eher einen Punktabzug.   ─   cauchy 17.05.2023 um 14:45
@cauchy, dein letztes Argument "zieht" 😀. Ich rate auch, im Zweifel lieber zu rechnen, als zu argumentieren, geschweige denn, in Mathe freiwillig in eine mündliche Prüfung zu gehen. Die Frage war trotzdem legitim; falls man das Gesuchte nicht berechnen kann (persönliche Unfähigkeit oder weil es nicht möglich ist) verzichtet man notfalls auf Punkte, bevor man gar keine bekommt.   ─   monimust 17.05.2023 um 22:42
Machbar ist es ja, daher ist die Frage okay. Aber man muss eben auf einiges achten.   ─   cauchy 17.05.2023 um 23:08

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Bei der Modellierung mit $f$ könnten theoretisch noch weitere Hochpunkte vorhanden sein, mit größerem Funktionswert als $f(12)$. Du musst daher auch noch nachweisen, dass es in dem fraglichen Bereich kein $t$ mit größerem $f(t)$ gibt. Dazu muss man nicht nur mit der Ableitung arbeiten, sondern auch mit den Rändern des Intervalls (denn die erfasst man nicht mit dem Ableitungskriterium).
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12 Uhr entspricht in diesem Fall $t=0$, nicht $t=12$.   ─   cauchy 17.05.2023 um 13:18
Oh, ja, so ist es wohl gemeint, t=12 ist ja auch nicht im Intervall. Ich wüsste allerdings nicht, wo die Sonne um Mitternacht am höchsten steht. Die Skala geht vermutlich aus der Abbildung hervor, die hier fehlt.   ─   mikn 17.05.2023 um 14:06

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