Differenzierbarkeit

Erste Frage Aufrufe: 78     Aktiv: 10.07.2021 um 17:52

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Es gilt zu zeigen, dass die Funktionen stetig differenzierbar sind für n>0.




Damit f stetig differenzierbar ist muss ja zum einen:
  • f differenzierbar sein
  • und f' stetig sein

Ich möchte zunächst zeigen, dass f differenzierbar ist. An sich bekomme ich auch einen Grenzwert raus. Folglich ist die Funktion differenzierbar. Allerdings müsste ich ja normalerweise auf die Ableitung kommen, die bereits gegeben ist. Das ist aber nicht der Fall. Habe ich micht hier verrechnet oder wo ist mein Denkfehler?
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1 Antwort
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In der 3. Zeile fehlt rechts im Zähler zweimal der Index 0 am x. Danach hast Du noch unzulässig gekürzt.
Dazu: limes erst schreiben, wenn die Konvergenz gesichert ist. Vorher nur mit dem Differenzenquotienten arbeiten, dazwischen =-Zeichen verwenden. Am Ende dann mit -->0 (oder was auch immer) enden.
Ich würde hier mit links- und rechtsseitig differenzierbar arbeiten. Dann hat man die Fälle \(x>0\) und \(x<0\) getrennt, kann den Betrag auflösen und die üblichen Rechenregeln anewnden. Am Ende kann man das ganze mithilfe des Betrags wieder zusammensetzen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 15.53K

 

Danke für die fixe Antwort. Oh, die fehlende 0 im Index war tatsächlich unbeabsichtigt beim erneuten Aufschreiben. Problematisch ist dann eher das unzulässige Kürzen, das sehe ich jetzt auch. Bin mir nicht ganz sicher, ob ich genau verstanden habe, worauf du bei linksseitig- und rechtsseitigem Grenzwert hinaus möchtest. Das wäre ja dann:

Von links: lim x < 0 mit |-x| * (-x)^n
Von rechts: lim x > 0 mit |x| * x^n

Für Differenzierbarkeit müsste ja bei beiden das gleiche raus kommen. Wenn n ungerade ist, dann kommt aber nicht das gleiche raus oder?
  ─   txm 10.07.2021 um 15:03

Das hat nicht mit "einsetzen von x und -x" zu tun. Es geht um x selbst.
Für x>0 gilt f(x)=x^(n+1), (da |x|=x), also prima rechtsseitig diffbar.
Mach nach diesem Muster den Fall x<0 selbst. Wie sieht das dann aus? Achte auf jedes Zeichen im Muster.
  ─   mikn 10.07.2021 um 15:10

Also |x| = x ist mir schon klar. Aber kannst du mir noch sagen warum wir deshalb auf f(x) = x^n schließen?

Dann schonmal zum Fall x < 0. Hier gilt ja zum einen auf jeden Fall |x| = -x. Das ist klar. Und dann vermutlich (-x)^n ...?
  ─   txm 10.07.2021 um 15:49

Einfach einsetzen: x>0, also |x|= x, also f(x)=|x| x^n=?. Genauso beim anderen Fall.Jedes Detail hinschreiben, keine Vermutungen, sondern stupides Einsetzen. Die Potenzrechenregeln kennst Du, hoffe ich? Und den zweiten Fall erst angehen, wenn der erste 100%ig verstanden ist.   ─   mikn 10.07.2021 um 15:53

Okay, dass |x| x^(n-1) = x^1 x^(n-1) = x^n gilt, ist klar. Das ist offensichtlich.

Aber warum genau hast du als Ausgangsfunktion f(x) = |x| x^(n-1)? In der Aufgabenstellung stand ja f(x) = |x| x^n. Und ich habe entsprechend auch f(x) = |x| x^n als Ausgangslage genommen, um den rechtsseitigen- und linksseitigen Grenzwert zu prüfen.

Also ich möchte ja erstmal f auf Differenzierbarkeit prüfen.
  ─   txm 10.07.2021 um 16:03

Oh, sorry, hatte die Funktion falsch abgeschrieben. Ich korrigiere meine Kommentare sofort.
  ─   mikn 10.07.2021 um 16:10

Okay, macht nichts. Dann versuche ich nochmal zusammenzufassen. Zum um Differenzierbarkeit zu zeigen, hatten wir gesagt:

x > 0 f(x) = x x^n, also f(x) = x^(n+1) => rechtsseitig differenzierbar

Und dann müssten wir für x<0 mit |x| = -x folgendes erhalten: f(x) = -x * (-x)^n, also f(x) = (-x)^(n-1) => linksseitig differenzierbar

Muss nicht eigentlich linksseitig und rechtsseitig der Grenzwert übereinstimmen, damit die Funktion diffbar ist? Oder wie schließen wir jetzt darauf, dass f tatsächlich diffbar ist?

  ─   txm 10.07.2021 um 16:21

Nein. Nochmal: richtig einsetzen bitte: x<0, also |x|=-x, also f(x)=|x|x^n =?. Wenn das geklärt ist, müssen noch die beiden (links- und rechtss.) Ableitungen ausgerechnet werden.
  ─   mikn 10.07.2021 um 16:33

Dann erhalten wir für x<0 f(x) = |x| x^n = -x x^n = - x^(n+1). Oder?   ─   txm 10.07.2021 um 16:38

Genau, gut. Wir haben also: \(f(x)=\begin{cases} x^{n+1} & x\ge 0 \\ -x^{n+1} & x\le 0\end{cases}\). Ich hab den Fall x=0 dazugepackt, ändert an der Herleitung nichts. Die beiden Teile sind auf jeden Fall diffbar. Schreibe nun zu den Fällen die jeweilige Ableitung. Dann prüfe, ob die linksseitige Ableitung in x=0 gleich der rechtsseitigen ist. Wenn das der Fall ist, ist f diffbar in x=0 und damit generell diffbar. Danach schauen wir nochmal auf das Endergebnis.   ─   mikn 10.07.2021 um 16:51

Super, danke. Ableitung hätten wir mit:

f(x) = x^(n+1) mit f'(x) = (n+1)*x^n
f(x) = -x^(n+1) mit f'(x) = -(n+1)*x^n.

Mit x = 0 erhalten wir also.
f'(0) = (n+1) * 0^n = 0
f'(0) = -(n+1)* 0^n = 0

=> f diffbar in x = 0
=> f generell diffbar
  ─   txm 10.07.2021 um 16:59

Super, jetzt läuft's. Kannst Du nun mithilfe des Absolutbetrags die beiden Ableitungsfälle zusammenfassen, d.h. dass wir haben f'(x)=.... für alle x? Ähnlich wie vorher, nur "rückwärts".   ─   mikn 10.07.2021 um 17:08

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