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In der 3. Zeile fehlt rechts im Zähler zweimal der Index 0 am x. Danach hast Du noch unzulässig gekürzt.
Dazu: limes erst schreiben, wenn die Konvergenz gesichert ist. Vorher nur mit dem Differenzenquotienten arbeiten, dazwischen =-Zeichen verwenden. Am Ende dann mit -->0 (oder was auch immer) enden.
Ich würde hier mit links- und rechtsseitig differenzierbar arbeiten. Dann hat man die Fälle \(x>0\) und \(x<0\) getrennt, kann den Betrag auflösen und die üblichen Rechenregeln anewnden. Am Ende kann man das ganze mithilfe des Betrags wieder zusammensetzen.
Dazu: limes erst schreiben, wenn die Konvergenz gesichert ist. Vorher nur mit dem Differenzenquotienten arbeiten, dazwischen =-Zeichen verwenden. Am Ende dann mit -->0 (oder was auch immer) enden.
Ich würde hier mit links- und rechtsseitig differenzierbar arbeiten. Dann hat man die Fälle \(x>0\) und \(x<0\) getrennt, kann den Betrag auflösen und die üblichen Rechenregeln anewnden. Am Ende kann man das ganze mithilfe des Betrags wieder zusammensetzen.
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mikn
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Also |x| = x ist mir schon klar. Aber kannst du mir noch sagen warum wir deshalb auf f(x) = x^n schließen?
Dann schonmal zum Fall x < 0. Hier gilt ja zum einen auf jeden Fall |x| = -x. Das ist klar. Und dann vermutlich (-x)^n ...? ─ txm 10.07.2021 um 15:49
Dann schonmal zum Fall x < 0. Hier gilt ja zum einen auf jeden Fall |x| = -x. Das ist klar. Und dann vermutlich (-x)^n ...? ─ txm 10.07.2021 um 15:49
Okay, dass |x| x^(n-1) = x^1 x^(n-1) = x^n gilt, ist klar. Das ist offensichtlich.
Aber warum genau hast du als Ausgangsfunktion f(x) = |x| x^(n-1)? In der Aufgabenstellung stand ja f(x) = |x| x^n. Und ich habe entsprechend auch f(x) = |x| x^n als Ausgangslage genommen, um den rechtsseitigen- und linksseitigen Grenzwert zu prüfen.
Also ich möchte ja erstmal f auf Differenzierbarkeit prüfen. ─ txm 10.07.2021 um 16:03
Aber warum genau hast du als Ausgangsfunktion f(x) = |x| x^(n-1)? In der Aufgabenstellung stand ja f(x) = |x| x^n. Und ich habe entsprechend auch f(x) = |x| x^n als Ausgangslage genommen, um den rechtsseitigen- und linksseitigen Grenzwert zu prüfen.
Also ich möchte ja erstmal f auf Differenzierbarkeit prüfen. ─ txm 10.07.2021 um 16:03
Okay, macht nichts. Dann versuche ich nochmal zusammenzufassen. Zum um Differenzierbarkeit zu zeigen, hatten wir gesagt:
x > 0 f(x) = x x^n, also f(x) = x^(n+1) => rechtsseitig differenzierbar
Und dann müssten wir für x<0 mit |x| = -x folgendes erhalten: f(x) = -x * (-x)^n, also f(x) = (-x)^(n-1) => linksseitig differenzierbar
Muss nicht eigentlich linksseitig und rechtsseitig der Grenzwert übereinstimmen, damit die Funktion diffbar ist? Oder wie schließen wir jetzt darauf, dass f tatsächlich diffbar ist?
─ txm 10.07.2021 um 16:21
x > 0 f(x) = x x^n, also f(x) = x^(n+1) => rechtsseitig differenzierbar
Und dann müssten wir für x<0 mit |x| = -x folgendes erhalten: f(x) = -x * (-x)^n, also f(x) = (-x)^(n-1) => linksseitig differenzierbar
Muss nicht eigentlich linksseitig und rechtsseitig der Grenzwert übereinstimmen, damit die Funktion diffbar ist? Oder wie schließen wir jetzt darauf, dass f tatsächlich diffbar ist?
─ txm 10.07.2021 um 16:21
Dann erhalten wir für x<0 f(x) = |x| x^n = -x x^n = - x^(n+1). Oder?
─
txm
10.07.2021 um 16:38
Super, danke. Ableitung hätten wir mit:
f(x) = x^(n+1) mit f'(x) = (n+1)*x^n
f(x) = -x^(n+1) mit f'(x) = -(n+1)*x^n.
Mit x = 0 erhalten wir also.
f'(0) = (n+1) * 0^n = 0
f'(0) = -(n+1)* 0^n = 0
=> f diffbar in x = 0
=> f generell diffbar ─ txm 10.07.2021 um 16:59
f(x) = x^(n+1) mit f'(x) = (n+1)*x^n
f(x) = -x^(n+1) mit f'(x) = -(n+1)*x^n.
Mit x = 0 erhalten wir also.
f'(0) = (n+1) * 0^n = 0
f'(0) = -(n+1)* 0^n = 0
=> f diffbar in x = 0
=> f generell diffbar ─ txm 10.07.2021 um 16:59
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Von links: lim x < 0 mit |-x| * (-x)^n
Von rechts: lim x > 0 mit |x| * x^n
Für Differenzierbarkeit müsste ja bei beiden das gleiche raus kommen. Wenn n ungerade ist, dann kommt aber nicht das gleiche raus oder? ─ txm 10.07.2021 um 15:03