Wir können einen Jordanblock \(J\) in eine Diagonalmatrix und eine Nilpotente Matrix additiv zerlegen (dies ist sogar eindeutig,  das ist aber etwas schwieriger zu beweisen und hierfür nicht wichtig), also \(J=D+N\), diese Zerlegung is sehr einfach. Schreibe bei \(D\) alle Eigenwerten auf die Hauptdiagonale und bei \(N\) die Einsen auf der Nebendiagonalen,  klar. Jetzt gibt  es den binomischen Lehrsatz, dieser gilt  in allgemeinen Ringen, wenn die Elemente des Binoms kommutieren. Es ist \(DN=ND\) also können wir ihn verwenden. Übrigens brauchst du in deiner Rechnung kein ..., weil \(N\) nilpotent ist.