Bestimmung einer gesuchten komplexen Zahl anhand einer Gleichung

Aufrufe: 940     Aktiv: 28.12.2019 um 16:09
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Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil derjenigen komplexen Zahlen z = x + j*y , welche die Gleichung Im(z^2) = z^2 - 1 erfüllen.

Mein Ansatz ist: 

 

Bin ich auf der richtigen Spur? Als Lösung soll folgendes herauskommen:

z1 = x + j*(x+1)

z2 = x + j*(x-1)

 

Ich komme nicht weiter. Ich habe im Gefühl, dass ich beides irgendwie in einer binomischen Formel wieder zusammenfassen kann. Bitte um Hilfe. :)

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Student, Punkte: 25

 
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Hallo,

Dein Ansatz war genau richtig, ebenso deine Idee mit der binomischen Formel. Man muss lediglich den Imaginärteil auf der linken Seite bestimmen und ein wenig umformen:

Gruß Tuffte

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Student, Punkte: 455

 
Okay, danke dir! Magst du mir deinen Schritt in der vierten Zeile noch etwas verdeutlichen? Wie kommst du da von x^2 + 2jxy + y^2 auf 2xy und wo ist das Im() abgeblieben? Das wäre toll!   ─   helpmath 28.12.2019 um 12:59

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In Kommentaren kann man leider keine Formeln eingeben, deswegen schreibe ich das als Antwort.

Eine komplexe Zahl z=x+jy setzt sich zusammen aus einem Realteil (Re) und einem Imaginärteil (Im). Beide sind reelle Zahlen, jedoch wird der Imaginärteil noch mit der komplexen Einheit j multipliziert. Allgemein ist also Re(z)=x und Im(z)=y. In der Aufgabe:

\(x^2+2jxy-y^2=x^2-y^2+j2xy\)

Dabei sind ja x und y reelle Zahlen, also ist auch \(x^2-y^2\) eine reelle Zahl und somit Re(\(x^2-y^2+j2xy)=x^2-y^2\).

2xy ist ebenfalls eine reelle Zahl, wird zusätzlich aber noch mit j multipliziert. Somit folgt also Im(\(x^2-y^2+j2xy)=2xy\)

Das ganze wird auch z.B. in dem Video schön erklärt.

Gruß Tuffte

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Student, Punkte: 455

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Alles klar! Also Im(x^2 + 2jxy - y^2) "filtert" nur den Imaginärteil heraus? Also in dem Fall der Therm, in dem ein j vorhanden ist (2jxy). Ist das so richtig?   ─   helpmath 28.12.2019 um 15:59
Genau, und das j entfällt dabei.   ─   tuffte 28.12.2019 um 16:09

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