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Grüße,

ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe bezüglich Einheitswurzeln komplexer Zahlen. Ich muss die folgenden Aussagen beweisen.
Die erste Aussage habe ich soweit fertig, aber da ich noch kaum Beweise selbst geführt habe, wollte ich euch um Feedback bitten, ob das so akzeptabel ist oder ob ich da noch etwas (formal) falsch gemacht habe. Rein rechnerisch sollte es passen, denke ich, ich kann zumindest errechnen, was die Aussage aussagt.

Ich bitte auch um einige Denkanstöße bezüglich den anderen Aussagen, bei der zweiten stehe ich an und bei der dritten und vierten habe ich mir zwar Gedanken gemacht, kann aber nicht wirklich einen guten Ansatz, welcher mir sinnvoll scheint, finden.

Ich hoffe, dass meine Frage nicht den Rahmen sprengt; es tut mir Leid, dass ich bei den anderen Aussagen nicht mehr eigene Ausarbeitung liefern kann, aber ich komme wirklich nicht weiter..

Vielen Dank an alle, die sich Zeit nehmen!

1)

  • \( w_n^n = z \to \vert w_n \vert = \sqrt[n]{\vert z \vert} \),          \( \frac {2} {n} \cdot (n-1) = 2 - \frac {2} {n} \),          \( 1 - \frac {2} {n} = \frac {2} {n} \cdot q \Rightarrow q = \frac {2} {n} - 1 \)
  •  
  • \( w_n^k = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot e^{i \cdot \frac {1} {n} \cdot (\phi + 2 \cdot \pi \cdot k)} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot e^{i \cdot (\frac {\phi} {n} + \frac {2} {n} \cdot \pi \cdot k )} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot e^{i \cdot \pi \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} \cdot k )} \)
  •  
  • \( w_n^k= \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} \cdot k )} \)
  •  
  • \( w_n^{\frac {n} {2}} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} \cdot \frac {n} {2} )} = (-1)^{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + 1)} \),          \( w_n^0 = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{\frac {\phi} {\pi \cdot n}} \)
  •  
  • \( w_n^0 + w_n^{\frac {n} {2}} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot ((-1)^{\frac {\phi} {\pi \cdot n}} + (-1)^{\frac {\phi} {\pi \cdot n} + 1}) = 0 \)
  • \( w_n^1 + w_n^{\frac {n} {2} + 1} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot ((-1)^{{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} )}} + (-1)^{{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} + 1 )}}) = 0 \)
  • \( w_n^{\frac {n} {2} - 1} + w_n^{n - 1} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot ((-1)^{( \frac {\phi} {\pi \cdot n} + 1 - \frac {2} {n} )} + (-1)^{( \frac {\phi} {\pi \cdot n} + 2 - \frac {2} {n} )}) = 0 \)
  •  
  • \( w_n^x \): \( x = 0,1,...,\frac {n} {2} - 1 \),          \( w_n^y \): \( y = \frac {n} {2}, \frac {n} {2} + 1, ..., n-1 \)
  •  
  • \( \sum_{k=0}^{n-1} w_n^k = w_n^x + w_n^y = 0 \),          \( x = 0,1,...,\frac {n} {2} - 1 \),          \( y = \frac {n} {2}, \frac {n} {2} + 1, ..., n-1 \)

\( \Rightarrow wahre Aussage \)

2)

  • \( w_n^n = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot e^{i \cdot (\frac {\phi} {n} + 2 \cdot \pi )} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{ \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot n} + 2 )} \)
  •  
  • \( w_0^0 = 1 \)
  • \( w_1^1 = \sqrt[1]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{ \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot 1} + 2 )} \)
  • \( w_2^2 = \sqrt[2]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{ \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot 2} + 2 )} \)
  • \( w_n^n = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{ \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot n} + 2 )} \)

3)

4)

 

 

EDIT: Screenshot der Gesamtaufgabe (ich befasse mich konkret mit dem Teil \( e) \) )

gefragt

Student, Punkte: 49

 

Die konkrete Aufgabe lautet: "Geben Sie an, welche der folgenden Eingenschaften allgemein für die Einheitswurzeln ωn zutreffen und beweisen Sie die ausgewählen Eingenschaften im folgenden Textfeld oder in Ihren Ausarbeitungen."
Da ich noch recht unerfahren in mathematischer Beweisführung bin, wollte ich um Feedback zu meinem Beweis der Korrektheit der ersten Aussage bitten.
Außerdem komme ich nicht voran bei den anderen dreien, ich kann einfach keinen guten Ansatz finden. Hier bitte ich um Hilfe beim Finden eines Ansatzes, um die Aussagen zu beweisen.

Vielen Dank für Ihre Arbeit, speziell Ihren Videos & Lernplaylisten, ich habe mir bereits ein paar Male die Beiträge zu komplexen Zahlen und Wurzeln angesehen; trotzdem benötige ich hier noch Hilfe.
  ─   arcturus0815 29.12.2020 um 18:17

Danke für die Denkanstöße; ich habe nun einen Screenshot der gesamten Aufgabenstellung hochgeladen, ich hoffe, ich konnte damit zu mehr Klarheit über die Aufgabenstellung führen.   ─   arcturus0815 04.01.2021 um 15:10
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1 Antwort
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Vorweg: Es geht um die EINHEITSwurzeln, die heißen so, weil sie die Wurzeln der Einheit, also der 1 sind. Mit z und phi hast Du hier gar nichts zu tun. Das vereinfacht die Sache enorm.

Zu 1): Das ist eine geometrische Summe. Mit der zugehörigen Formel (die man auswendig können sollte), ist die Aufgabe ein Halbzeiler.

Zu 2), 3), 4): Probier nochmal unter Berücksichtigung der obigen "vorweg"-Bemerkung. Bei allen Aufgaben musst Du gar nicht wissen, wie die Einheitswurzeln wirklich aussehen (bei Gegenbeispielen aber schon), sondern nur die entsprechende Bedingung benutzen.

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geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Zunächst danke für die Antwort!
Ich habe mir einige Zeit Gedanken dazu gemacht.
Ich habe 1) mit der geometrischen Summenformel berechnet, dadurch erhalte ich im Zähler " 1 - w_n^n ", was 0 ist -> der gesamte Bruch der Summenformel wird 0.

Die Vorweg-Bemerkung war insofern aufschlussreich zumal ich mich jetzt weniger "verloren" fühle; und ich denke ich habe durch das Nachdenken darüber sicher noch mehr zu der Thematik verstanden.
Allerdings bin ich mir noch unsicher bezüglich 2), 3), 4)

Bei 2) weiß ich irgendwie nicht, *wie* genau ich es beweisen soll, da es doch die Definition selbst ist?
4) leuchtet mir mit e^((î*pi)*(1+2+...+n-1)) ein, aber wie ich es jetzt beweisen kann, ist mir noch nicht ganz klar. 3) will sich mir so gar nicht erschließen.

  ─   arcturus0815 30.12.2020 um 16:41

Bitte um Entschuldigung für die verspätete Antwort (das neue Jahr kam dazwischen) - an dieser Stelle an frohes Neujahr!
Danke für die Hilfe zu 1) & 2)

Bei 3) und 4) komme ich leider nicht voran, ich habe ein wenig das Gefühl, ich drehe mich im Kreis, beziehungsweise verstehe etwas grundlegendes nicht.

3): Ich weiß ich nicht wirklich, wie ich mit dem einsetzen von Werten für n weiterkomme, daher habe ich es auch mit k probiert, erhalte aber nichts sinnvolles bzw gelange zu einem Widerspruch. Ich bin mir ziemlich sicher, dass meine Ansätze falsch sind, aber ich werde sie hier anführen:
n=0
\(w_0 = (w_0)^{k-1} = (w_0)^{-1} \)
n=1
\(w_1 = (w_1)^{k-1} = (w_1)^{-1} = (w_1)^0 = 1 \)
k=1
\(w_0 = (w_0)^{1-1} = (w_0)^0 = 1 \)

4): Auch hier ist mir nicht klar, wie ich mit w_n zum Ziel komme.
\(\prod_{i=1}^{k} = (w_n)^k = (w_n)^{\frac {0} {n}} \cdot (w_n)^{\frac {1} {n}} \cdot (w_n)^{\frac {2} {n}} \cdot ... \cdot (w_n)^{\frac {n-1} {n}} = (w_n)^{\frac {1} {n} \cdot ((0+1+2+...+(n-1))} \)
(ebenso nicht mit e^(...)); \( w^k = e^{i \cdot \pi \cdot \frac {1} {n} \cdot k} = (-1)^k \Rightarrow (w_n)^{\frac {1} {n} \cdot ((0+1+2+...+(n-1))} = (-1)^{\frac {1} {n} \cdot ((0+1+2+...+(n-1))} \)
Die andere Formel ( \( \sum_{i=1}^{k} i = \frac {1} {2} \cdot k \cdot (k +1) \) ) habe ich nicht wirklich mit der Aufgabenstellung verknüpfen können.


  ─   arcturus0815 03.01.2021 um 21:17

Habe einen Screenshot der gesamten Aufgabe in die Frage hinzugefügt.


Ich denke, ich verstehe die Aussage von 3) doch nicht - ich kann dem letzten Tipp (bei n=0 keine, bei n=1 eins, bei n=2 zugelassene k) nicht folgen.


Zu i/n im Exponenten bei 4): Meines Wissens nach muss ich im Exponenten ja \( n \) einbeziehen, um anzugeben, welche Einheitswurzeln ich berechnen will (die zweiten, dritten, fünften, etc. Einheitswurzeln). Das \( i \) ist Teil der Formel für die Einheitswurzel.

Vielleicht zeigt sich, was ich meine, mit einem Beispiel besser: siehe Screenshot; dort geht es um \( w_8^8 = 1 \)
\( w_8^8 = 1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0}\)
\( w_8^8 = 1 = 1 \cdot e^{i \cdot (0 + 2 \cdot \pi \cdot k)} \Rightarrow w_8^k = \sqrt[8]{1} \cdot e^{i \cdot \frac {1} {8} \cdot (0 + 2 \cdot \pi \cdot k)} = 1 \cdot e^{i \cdot \frac {2} {8} \cdot \pi \cdot k} = e^{i \cdot \frac {1} {4} \cdot \pi \cdot k} \)

verallgemeinert: \( w_n^n = 1 \)
\( w_n^n = 1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0}\)
\( w_n^n = 1 = 1 \cdot e^{i \cdot (0 + 2 \cdot \pi \cdot k)} \Rightarrow w_n^k = \sqrt[n]{1} \cdot e^{i \cdot \frac {1} {n} \cdot (0 + 2 \cdot \pi \cdot k)} = 1 \cdot e^{i \cdot \frac {2} {n} \cdot \pi \cdot k} = e^{i \cdot \frac {2} {n} \cdot \pi \cdot k} = (-1)^{\frac {2} {n} \cdot k} \)
(hier habe ich entdeckt, dass meine zuvor aufgeschriebene Überlegung sicher falsch ist, da es auf \( \frac {2} {n} \) und nicht auf \( \frac {1} {n} \) hinausläuft)
  ─   arcturus0815 04.01.2021 um 15:06

Ja, die Häkchen sind korrekt gesetzt.

Zu 4) Tut mir Leid, das war nicht "zu Fleiß" oder aus Trotz oder dergleichen gemeint, mehr als eine Art Orientierungshilfe für mich, da ich ohne das Gefühl habe, weniger zu verstehen (das mag etwas sinnfrei klingen).

Danke für die bisherige Hilfe; ich werde mich noch einmal sorgfältig mit 3) und 4) befassen.
  ─   arcturus0815 04.01.2021 um 15:24

Danke!
Das leuchtet mir ein.
  ─   arcturus0815 04.01.2021 um 20:25

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.