Grüße,

ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe bezüglich Einheitswurzeln komplexer Zahlen. Ich muss die folgenden Aussagen beweisen.
Die erste Aussage habe ich soweit fertig, aber da ich noch kaum Beweise selbst geführt habe, wollte ich euch um Feedback bitten, ob das so akzeptabel ist oder ob ich da noch etwas (formal) falsch gemacht habe. Rein rechnerisch sollte es passen, denke ich, ich kann zumindest errechnen, was die Aussage aussagt.

Ich bitte auch um einige Denkanstöße bezüglich den anderen Aussagen, bei der zweiten stehe ich an und bei der dritten und vierten habe ich mir zwar Gedanken gemacht, kann aber nicht wirklich einen guten Ansatz, welcher mir sinnvoll scheint, finden.

Ich hoffe, dass meine Frage nicht den Rahmen sprengt; es tut mir Leid, dass ich bei den anderen Aussagen nicht mehr eigene Ausarbeitung liefern kann, aber ich komme wirklich nicht weiter..

Vielen Dank an alle, die sich Zeit nehmen!

1)

• \( w_n^n = z \to \vert w_n \vert = \sqrt[n]{\vert z \vert} \),          \( \frac {2} {n} \cdot (n-1) = 2 - \frac {2} {n} \),          \( 1 - \frac {2} {n} = \frac {2} {n} \cdot q \Rightarrow q = \frac {2} {n} - 1 \)
•  
• \( w_n^k = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot e^{i \cdot \frac {1} {n} \cdot (\phi + 2 \cdot \pi \cdot k)} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot e^{i \cdot (\frac {\phi} {n} + \frac {2} {n} \cdot \pi \cdot k )} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot e^{i \cdot \pi \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} \cdot k )} \)
•  
• \( w_n^k= \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} \cdot k )} \)
•  
• \( w_n^{\frac {n} {2}} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} \cdot \frac {n} {2} )} = (-1)^{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + 1)} \),          \( w_n^0 = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{\frac {\phi} {\pi \cdot n}} \)
•  
• \( w_n^0 + w_n^{\frac {n} {2}} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot ((-1)^{\frac {\phi} {\pi \cdot n}} + (-1)^{\frac {\phi} {\pi \cdot n} + 1}) = 0 \)
• \( w_n^1 + w_n^{\frac {n} {2} + 1} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot ((-1)^{{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} )}} + (-1)^{{(\frac {\phi} {\pi \cdot n} + \frac {2} {n} + 1 )}}) = 0 \)
• \( w_n^{\frac {n} {2} - 1} + w_n^{n - 1} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot ((-1)^{( \frac {\phi} {\pi \cdot n} + 1 - \frac {2} {n} )} + (-1)^{( \frac {\phi} {\pi \cdot n} + 2 - \frac {2} {n} )}) = 0 \)
•  
• \( w_n^x \): \( x = 0,1,...,\frac {n} {2} - 1 \),          \( w_n^y \): \( y = \frac {n} {2}, \frac {n} {2} + 1, ..., n-1 \)
•  
• \( \sum_{k=0}^{n-1} w_n^k = w_n^x + w_n^y = 0 \),          \( x = 0,1,...,\frac {n} {2} - 1 \),          \( y = \frac {n} {2}, \frac {n} {2} + 1, ..., n-1 \)

\( \Rightarrow wahre Aussage \)

2)

• \( w_n^n = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot e^{i \cdot (\frac {\phi} {n} + 2 \cdot \pi )} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{ \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot n} + 2 )} \)
•  
• \( w_0^0 = 1 \)
• \( w_1^1 = \sqrt[1]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{ \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot 1} + 2 )} \)
• \( w_2^2 = \sqrt[2]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{ \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot 2} + 2 )} \)
• \( w_n^n = \sqrt[n]{\vert z \vert} \cdot (-1)^{ \cdot (\frac {\phi} {\pi \cdot n} + 2 )} \)

3)

4)

EDIT: Screenshot der Gesamtaufgabe (ich befasse mich konkret mit dem Teil \( e) \) )