Eine Funktion vereinfachen wie sollte man am besten vorgehen?

Erste Frage Aufrufe: 52     Aktiv: 30.06.2021 um 20:44

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Guten Abend,

ich habe hier eine Funktion:

f(x)= (x+2)² / x+3

nun soll ich anhand dieser Funktion mehrere Aufgaben bearbeiten:

1. Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
2. Ermitteln Sie die Gleichung der Asymptote für |x|-> ∞.
3. Berechnen Sie mögliche Hoch/Tiefpunkte.

Meine Frage ist jetzt wie ich diese beispielhaften Aufgaben lösen kann? Ich habe mich gefragt ob man diese Funktion nicht vereinfachen könnte,dass
beispielsweise:

f(x)=ax²+bx+c beispielsweise steht.
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Das ist eine gebrochen rationale Funktion (x im Nenner) mit anderen Eigenschften als die vorgeschlagene ganzrationale (Parabel), 
Man findet bei dieser Funktionsklasse Polstellen, Asymptoten und Näherungskurven zusätzlich zu den bekannten Nu,ll- /Extremstellen...
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Hallo :)
Zu deiner Frage, wegen der Vereinfachung :
Du kannst für Aufgabe 1. nur die gleichung oberhalb vom Bruchstrich benutzen ( also einmal x = 0 einsetzen , das Ergebnis zeigt dir wo der Graph die y Achse schneidet (dort ist ja x = 0 ;) ) und nochmals für y=0 und dort schneidet der Graph die x Achse.

Das funktioniert, weil wenn oberhalb vom Bruchstrich eine 0 steht, ist der ganze Bruch = 0 , das unterhalb kannst du weglassen, weil man nicht durch 0 teilen darf :)


Für die Hoch und Tiefpunkte benutzt du die Quotientenregel um abzuleiten (du erhälst f'), und setzt das Ergebnis = 0 (wieder nur das oberhalb vom Bruchstrich)

Die vorherige Ableitung musst du aber nochmals ableiten und den X wert einsetzen, ist dein Ergebnis <0 handelt es sich um einen HP und ist es >0 handelt es sich um einen TP
Ist dein Ergebnis jedoch = 0 ist es ein Sattelpunkt !

Hast du also Hochpunkte und Tiefpunkte gefunden, brauchst du zu deinen in f' erhaltenen X-Werten auch noch jeweils den zugehörigen Y-Wert

Den in f' erhaltenen X-Wert setzt du in die anfängliche Gleichung ein und erhälst den zugehörigen Y- Wert.
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