Länge der Kurve bestimmen

Aufrufe: 137     Aktiv: 06.11.2022 um 15:11

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Meine Frage bezieht sich auf b). Und zwar habe ich die Kurve auf die Bogenlänge parametrisiert. Wenn ich nun die euklidische Norm der Ableitung dieser Bogenlänge-Parameterkurve bilde (wie es im Aufgabenteil steht), dann kommt doch 1 raus? Die Eigenschaft einer Bogenlängenparametrisierung ist doch, dass die Norm der ersten Ableitung gleich eins ist? Also ist der Grenzwert der Länge für b gegen unendlich auch unendlich, oder?  (Autor des Übungsblattausschnittes: TUKL HM Büro)

EDIT vom 06.11.2022 um 14:00:

Erkennt jemand den Fehler? Habe ich die Kurve so richtig parametrisiert?

EDIT vom 06.11.2022 um 14:51:

Ableitung der Kurve
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Student, Punkte: 122

 
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Rechne doch einfach so wie's da steht. Dann wirst Du sehen, dass $\|\gamma'(s)\|\neq 1$ ist. Und hier ist auch nichts nach Bogenlänge parametrisiert.
Also, einfach rechnen wie's da steht.
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Lehrer/Professor, Punkte: 31.7K

 

Okay, ich habe meine Rechnung gerade hochgeladen. Ist das so richtig? Wenn ich t(s) in die Kurve einsetze, kommt ja die Bogenlängenparametrisierung raus. Es wird dann aber sehr kompliziert zu integrieren sein, weswegen ich vermute, dass ich irgendetwas falsch gemacht habe   ─   gaussgewehr 06.11.2022 um 14:02

Ach, jetzt ahne ich Dein Problem: Weil oben $\gamma(t)$ steht und unten $\gamma(s)$ integriert wird?! Das sind doch nur Buchstaben. Genauso kann man auch $L(b)=\int\limits_0^b \|\gamma'(t)\|\, dt$ schreiben, kommt natürlich dasselbe raus, wie mit $\int\limits_0^b \|\gamma'(x)\|\, dx$ oder $\int\limits_0^b \|\gamma'(u)\|\, du$.
Davon abgesehen hast Du falsch abgeleitet. Schreib erstmal $\gamma(t)$ als Vektor aus und leite dann ab.
  ─   mikn 06.11.2022 um 14:10

Ich war mir bei der Ableitung nicht so sicher, weil zuerst habe ich die Ableitung zeilenweise gemacht, also wäre die Ableitung eine 2x1 Matrix gewesen. Dann kann man aber Aufgabenteil c) nicht lösen, weil man im Zähler eine 2x1 Matrix mit einer 2x1 Matrix multipliziert, was nicht möglich ist.
Und klar, es sind nur Buchstaben, und der Kurvenlänge ist die Parametrisierung egal. Aber dieses s im Gamma steht für Bogenlängenparametrisierung
  ─   gaussgewehr 06.11.2022 um 14:16

In $\gamma(t)$ wird eine Zahl mit einem Vektor multipliziert. Und Dein letzter Satz: Nein, das ist einfach eine Integrationsvariable.   ─   mikn 06.11.2022 um 14:23

Also wird diese Zahl e^-Rt einfach in beide Zeilen multipliziert. Das habe ich gemacht und dann abgeleitet. Wo genau ist der Fehler?   ─   gaussgewehr 06.11.2022 um 14:28

Okay, habe ich gemacht. Ist das so richtig? Ich weiß nicht, wo da ein Fehler sein soll. Die Produktregel habe ich beachtet   ─   gaussgewehr 06.11.2022 um 14:52

Sorry, hab 1. nicht genau hingeschaut und 2. selbst nen Rechenfehler drin gehabt.
In Deinem ersten Bild stimmt es bis zu $\|\gamma'(t)\|$ einschließlich. $\|\gamma(t)\|$ brauchst Du hier in b) nicht (aber in c)).
Was man natürlich NIE machen darf, ist die Integrationsvariable gleich wie die Integralgrenze benennen.
Schreibe jetzt sauber nochmal $L(b)$ hin und berechne den Grenzwert. Dann ist Teil b) erledigt.
  ─   mikn 06.11.2022 um 15:03

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