Konvergenzbereich bestimmen von Reihen

Aufrufe: 58     Aktiv: 23.12.2021 um 01:00

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Zu folgender Aufgabe (siehe Bild) soll ich den Konvergenzbereich der gegebenen Reihe berechnen. Zuerst habe ich erkannt, dass es eine alternierende Reihe ist und folgendes Bildungsgesetz für die Folge (bzw. Glieder) gilt: $a_{n}=\frac{1}{n}*x^{n}$. Im Zusammenhang mit dem Leibniz-Kriterium muss als Konvergenzkriterium die Folge $a_{n}$ eine Nullfolge sein. Daraus folgt ja: $\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{n}*x^{n})=0$. Damit diese Gleichung aufgeht, habe ich angegeben, dass $1\geq x\geq-1$ als geschlossenes Intervall gelten muss, damit $x^n$ nicht ins unendliche steigt. Ein Blick auf die Lösung sagt mir, dass 1 und -1 dennoch ausgeschlossen worden sind und ich verstehe nicht warum. Des Weiteren frage ich mich: macht es einen Unterschied, ob ich statt $1\geq x\geq-1$ einfach $|x| \leq 1$ als Intervall angebe?


Lösung:

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Ja, die Summandenfolge muss eine Nullfolge sein. Das ist aber nur eine notwendige Bedingung, keine hinreichende. Heißt: Reihe konv. $\Longrightarrow$ Summandenfolge ist Nullfolge. Aber nicht umgekehrt.
Du hast also nur gezeigt: $|x|>1 \Longrightarrow $ Reihe konvergiert nicht. Alles weitere ist erstmal unklar.
Für den Konvergenzbereich gibt es spezielle Kriterien, Stichwort "Konvergenzradius". Schau mal, was Deine Unterlagen dazu hergeben.
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