Zuerst berechnest du die \(x,y,z\) Komponenten der Ebene \(F\), indem du jede Zeile für sich addierst.

\(x=3r+3s\)              \(y=2r\)                \(z=3-r-s\)

Diese setzt du nun in die Ebengleichung von \(E\) ein und löst nach einem der Parameter auf:

\(4(3r+3s)+6r+6(3-r-s)=36\)

\(12r+12s+6r+18-6r-6s=36\)

\(12r+6s+18=36\)

\(12r+6s=18\)

\(2r+s=3\)

\(s=3-2r\)

Erhäst du so ein Ergebnis, also eine Beziehung zwischen den beiden Parametern bedeutet das, dass die Ebenen sich schneiden. Kommt etwas heraus wie \(3=3\) sind die Ebenen identisch (sie sind parallel und liegen ineinander). Kommt etwas heraus wie \(1=0\), also eine Ungleichung, sind die Ebenen parallel und shcneiden sich nicht.

Da sich die Ebenen schneiden, lässt sich eine Schnittgerade bestimmen.

Für die Gerade setzt du unseren berechneten Ausdruck \(s=3-2r\) in die Ebenengleichung von \(F\) ein:

\(G:\vec{x}=\) \begin{pmatrix}0+3r+(3-2r)*3\\0+2r+(3-2r)*0\\3-r+(3-2r)*(-1)\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-3r\\2r\\r\\\end{pmatrix}

Sorry für die Formatierung. Ich hoffe du verstehst, was ich meine.

Zuletzt könnte man noch den Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebenen ausrechnen:

Dazu benötigt man die Normalenvektoren \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) der Ebenen. Für die Ebene \(E\) ist dieser einfach abzulesen, die Komponenten sind die jeweiligen Koeffizienten.

\(\vec{n}_1\)=

\begin{pmatrix}4\\3\\6\end{pmatrix}

Den Normalenvektor \(\vec{n}_2\) der Ebene \(F\) errechnest du über das Kreuzprodukt der Spannvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\):

\(\vec{n}_2=\vec{u}\times \vec{v}\)=

\begin{pmatrix}-2\\0\\-6\end{pmatrix}

Den Schnittwinkel berechnest du mit:

\(\alpha=\cos^{-1}(\frac{|\vec{n}_1\circ\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|*|\vec{n}_2|})=\cos^{-1}(\frac{|-44|}{|7.81|*|6.32|})=\cos^{-1}(\frac{44}{49.35})=\cos^{-1}(0.89)=27.1°\)

Ich hoffe mal, ich hab mich nirgends vertan.