Zunächst zu Nullstellen: Für Polynome fünften oder höheren Grades gibt es keine allgemeinen Lösungsformeln. Das einzige, was wir machen können, ist, durch Ausprobieren eine Lösung zu finden. Einsetzen einfacher Werte zeigt, dass \(x_1=-2,x_2=3,x_3=5\) Nullstellen des Polynoms sind. Nun können wir das Polynom durch \((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\) dividieren und bekommen eine quadratische Funktion, von der wir ganz einfach die Nullstellen bestimmen können.

Für die Extremstellen müssen wir die Nullstellen der Ableitung \(0,2x^4-0,56x^3-3x^2+6,52x+3,36\) bestimmen. Für Polynome vierten Grades gibt es zwar eine Lösungsformel, die ist aber extrem lang und hässlich. Durch Herumprobieren findet man auch keine schönen Lösungen. Wenn du an Näherungen interessiert bist: WolframAlpha gibt dir -3,57617,-0.436072,2,49576,4.31649 als die vier Lösungen. Das sind Näherungen für die x-Werte der Extremstellen deiner Funktion.

Nur zum Spaß: Hier ist eine der vier Nullstellen in exakter Form: Man beachte, dass die Nullstelle reellwertig ist, obwohl die komplexe Einheit \(i\) mehrmals vorkommt:

\(\frac7{10}-\frac12\sqrt{\frac{299}{25}+\frac{5837}{150\sqrt[3]{\frac{145009}{2000}+\frac{\sqrt{27328100739}i}{3600}}}+2\sqrt[3]{\frac{145009}{2000}+\frac{\sqrt{27328100739}i}{3600}}}+\\\frac12\sqrt{\frac{598}{25}-2\sqrt[3]{\frac{145009}{2000}+\frac{\sqrt{27328100739}i}{3600}+\frac{2214}{125\sqrt{\frac{299}{25}+\frac{5837}{150\sqrt[3]{\frac{145009}{2000}+\frac{\sqrt{27328100739}i}{3600}}}+2\sqrt[3]{\frac{145009}{2000}+\frac{\sqrt{27328100739}i}{3600}}}}}-\frac{5837}{150\sqrt[3]{\frac{145009}{2000}+\frac{\sqrt{27328100739}i}{3600}}}}\)