Beweis Span(Span(M))= span(M)

Erste Frage Aufrufe: 522     Aktiv: 08.11.2021 um 01:18
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Hallo, ich habe folgendes Problem:
wir sollen beweisen, dass der span(span(M)) gleich dem span(M) ist. ich finde aber nur, dass das nunmal gilt, aber nicht, warum es gilt. Die Idee ist ja, dass das kleinste Untervektorraum ist, der M enthält. davon wieder der kleinste Unterraum, der den kleinsten Unterraum von M enthält. wie geht man an den Beweis am besten ran?
Vielen Dank, schon mal im Vorraus,
Manuel
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1 Antwort
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Hallo!

Du kannst dir Folgendes überlegen: Span(M) ist die Menge aller Vektoren, die durch Linearkombination der Vektoren aus M gebildet werden können. Span(Span(M)) ist also die Menge aller Vektoren, die durch Linearkombination der Vektoren aus Span(M) gebildet werden können. Die Beweisidee ist die, dass man eine beliebige Linearkombination der Vektoren aus Span(M) betrachtet. Dies ist ein Vektor aus Span(Span(M)). Andererseits kann jeder dieser Vektoren aus Span(M) - per Definition - als Linearkombination von Vektoren aus M dargestellt werden. Dasselbe übertraägt sich dann auf den Vektor aus Span(Span(M)).

Gruß, Ruben
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Das klingt logisch, jetzt muss ich es nur noch zu papier bringen. Vielen Dank für die schnelle Antwort   ─   user2e560d 08.11.2021 um 01:14
Gerne :-) Viel Erfolg!   ─   mathematinski 08.11.2021 um 01:18

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