Charakteristisches Polynom mithilfe von Laplace-Entwicklung

Erste Frage Aufrufe: 89     Aktiv: 21.04.2024 um 14:58

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Hallo :) Ich bin gerade ziemlich am Verzweifeln mit einer Aufgabe, bei der ich das charakteristische Problem einer nxn-Matrix berechnen soll - Matrix siehe Bild. Es ist vorgegeben, dass ich das mithilfe der Laplace-Entwicklung nach der letzten Spalte machen soll.

Ich habe die Entwicklung durchgeführt, aber mein Problem ist, dass ich jetzt nicht weiterkomme (falls es bisher überhaupt richtig war, was ich gemacht habe). Das zweite Bild ist meine bisherige Rechnung. Wie ich das sehe, kann ich so oft ich will nach der letzten Spalte entwickeln und es werden jedes Mal neue Summanden dazu kommen. Wie komme ich zu einem konkreten Ergebnis, wenn die Zeilen- und Spaltenzahl gar nicht vorgegeben ist?

Würde mich freuen über alle Antworten. Ich habe das Gefühl, ich übersehe einfach etwas offensichtliches.

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1 Antwort
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1. Prüfe die Potenzen von $(-1)$ genau. Die erste sollte $(-1)^{n+n-1}=?$ sein, die zweite $(-1)^{n+n}=?$.
2. In der ersten Matrix ist Dir was verrutscht, es sollte z.B. über dem $-a_{n-2}$ eine $1$ stehen. Prüfe ein paar Beispiele $n=3, n=4$.
3. Die erste Matrix hat genau dieselbe Form wie die Ausgangsmatrix. Die Det der zweiten Matrix kann man ausrechnen (ist ja eine Dreiecksmatrix (editiert)). Damit erhält man eine Rekursionformel der Form $p_n(\lambda)=... p_{n-1}(\lambda)+...$.
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Danke für die Antwort!

Mir ist nicht ganz klar, warum die zweite Matrix eine Diagonalmatrix ist, wenn außerhalb der Hauptdiagonale noch 1er stehen. Berechnet man in dem Fall trotzdem die Matrix als Produkt der Einträge der Hauptdiagonale? Wenn ja, dann habe ich als Rekursionsformel folgendes:

$p_n (λ) = - p_{n-1} (λ) + ( -a_{n-1} - λ) \cdot (-λ)^{n-1}$

Ist das soweit richtig?
  ─   hanna9486 21.04.2024 um 14:31

Sorry, ich meinte Dreiecksmatrix (ich editiere meine Antwort oben). Und ja, auch bei Dreiecksmatrizen ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente. Und noch ein ja: Deine Rekursionsformel stimmt (Tipp: der Malpunkt ist in LaTeX \cdot).   ─   mikn 21.04.2024 um 14:44

Super, vielen Dank für die Hilfe!   ─   hanna9486 21.04.2024 um 14:55

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