Leibniz-Kriterium Reihengrenzwert

Aufrufe: 455     Aktiv: 25.10.2022 um 11:45

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Hey, sorry, dass ich momentan soviele Fragen schreibe, ich möchte mich im vorraus für die vielen Antworten und die Hilfe bedanken, die ich hier schon erhalten habe.

Nun zu meiner Frage, ich soll die folgende Reihe auf Konvergenz prüfen und - sollte sie konvergieren dazu den Grenzwert berechnen.

Ich habe schon herausgefunden, dass ich das Leibnizkriterium nutzen muss, um zu prüfen ob diese alternierende harmonische Reihe (glaube jedenfalls das es eine ist) konvergiert. Mein Resultat ist, dass sie gegen 0 konvergiert.

Habe ich jetzt damit schon den Grenzwert (0) erhalten oder habe ich etwas vergessen?
Das was ich bisher gemacht hab scheint mir zu einfach, als das es schon die Lösung ist ..^^
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Zunächst einmal schau dir das Leibniz-Kriterium noch einmal genau an und klär die Begriffe. Die alternierende harmonische Reihe ist $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\cdot \dfrac{1}{n}}=\ln(2)$. Diese hier ist "nur" alternierend.

Wenn ich mir das Leibniz-Kriterium (z.B. auf Wikipedia) durchlese (in deinen Unterlagen steht es sicher auch so), stelle ich zunächst fest das der Laufindex bei $k=0$ und nicht bei $k=1$ startet. Das beeinflusst auch deine Folge $a_n$. Weiterhin hast du um auf die Konvergenz der Reihe schließen zu können noch vergessen etwas bzgl. $a_n$ zu zeigen. Das die Folge eine Nullfolge ist, ok. Aber was fehlt noch ... ?
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Hey, danke erstmal, ja da bin ich wohl etwas durcheinander gekommen, die Folge sollte, wenn ich den Index auf 0 verschiebe (also -1), doch eig. so aussehen: 1 / (ln(k+2)).
Ich habe außerdem vergessen zu sagen, dass die Reihe monoton fallend ist, könntest du mir einen Tipp geben, wie ich dies am einfachsten zeigen kann?
LG
  ─   deque 21.10.2022 um 01:18

Monotonie des Logarithmus reicht hier als Begründung.   ─   cauchy 21.10.2022 um 02:41

Für die Konvergenz der Startwert ist egal   ─   mathejean 21.10.2022 um 08:09

@deque um auf deine Frage einzugehen … die Monotonie folgerst die wie folgt, da wie cauchy erwähnt hat sicher bekannt sein sollte das die Logarithmusfunktion für Basen größer $1$ (Was beim natürlichen Logarithmus mit der Basis $e$ der Fall ist) monoton … ist, wäre somit auch die Folge $\big{(} \ln(k+2)\big{)}_{k\in \mathbb{N}}$ monoton … ! Was folgt dann für die Folge $\left(\dfrac{1}{\ln(k+2)}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ hinsichtlich der Monotonie? Ähnlich kannst du mit dem Grenzwert argumentieren, damit du wie in mikn seinem Kommentar nicht auf sowas wie $\dfrac{1}{\infty}$ kommst.   ─   maqu 21.10.2022 um 20:14

Ich verzweifle gerade einfach nur noch   ─   deque 21.10.2022 um 20:48

Was für die folge 1/ln(k+2) dann daraus folgt, müsste sein, dass die halt auch monoton ist.. Aber was ich jetzt dadurch beim Grenzwert argumentieren kann, ehrlich ich habe keinen Plan. Das meine Notation mit lim falsch war versteh ich ja auch aber nicht wieso ich k nicht gegen unendlich laufen lassen soll   ─   deque 21.10.2022 um 20:51

(ln(k+2) ist monoton steigend und 1/ln(k+2) müsste halt monoton fallend sein oder?   ─   deque 21.10.2022 um 20:55

@deque ich habe bei Monotonie mit ... nur weggelassen um welche Monotonie es sich handelt, sonst verrate ich gleich alles ... natürlich soll du dein $k$ gegen unendlich laufen lassen, hat einer etwas gegenteiliges behauptet?
also zuerst wenn du eine Folge wie z.B. $(n+1)_{n\in \mathbb{N}}$ hast, dann ich diese offensichtlich monoton wachsend ... damit ist aber auch klar, dass $\left(\dfrac{1}{n+1}\right)$ monoton fallend ist, klar? Wenn ja wende das auf dein Beispiel an und argumentiere dementsprechend.
Als nächstes der Grenzwert, wenn $\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} n+1 =\infty$ ist, dann folgt $\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{1}{n+1}=0$. Wird es jetzt klarer?
  ─   maqu 21.10.2022 um 20:58

@deque genau das ist alles, aber hingeschrieben werden muss es, da das Leibniz-Kriterium nur greift, wenn $a_n$ eine monoton fallende Nullfolge ist!   ─   maqu 21.10.2022 um 20:59

@mikn ne tatsächlich habe ich für den Grenzwert der Reihe noch keine Idee und habe immer nur vom Grenzwert der Folge $a_n$ gesprochen   ─   maqu 21.10.2022 um 21:04

Ich glaube ich habe die Begründung für die Konvergenz: da mein 1/ln(k+2) monoton fällt und man, wenn man k Element der natürlichen Zahlen gegen unendlich laufen lässt, das Resultat gegen 0 geht (eine Nullfolge ist), konvergiert diese Reihe   ─   deque 21.10.2022 um 21:18

Aber wie ich an den Grenzwert der Reihe an sich rankomme, dafür brauch ich noch nen Ansatz, ich schaue schon alle möglichen Aufgabensammlungen durch.. bewiesen das ein Grenzwert existiert, gegen den die Reihe konvergiert, haben wir ja jetzt schon   ─   deque 21.10.2022 um 21:21

jap, so stimmt es   ─   maqu 21.10.2022 um 21:21

bei sowas hilft bei alternierenden Reihe häufig die Glieder mal auszuschreiben ... aber in dem Fall (habe ich versucht) komme ich auf nichts nennenswertes ... selbst wolframalpha kann mir aber hier kein genaues Ergebnis nennen   ─   maqu 21.10.2022 um 21:23

Die Unterlagen bekomme ich erst nächste Woche ran..dann hab ich wohl dieses Semester hart verkackt, da die erste Übung schon Montag abgegeben werden muss.. ich werde mir die anderen Aufgaben anschauen, vll bekomme ich die ja gelöst..   ─   deque 21.10.2022 um 21:31

Die ganze Aufregung für nichts, unser Prof hat die Abgabe verlängert, da die benötigten Methoden eben noch nicht präsentiert worden sind,
bedeutet ich musste wirklich nur die Konvergenz / Divergenz feststellen..^^
  ─   deque 25.10.2022 um 01:27

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