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Lineare Funktionen sind jedenfalls definiert als $f(z)=m\cdot z+n$ und die drei Aufgabenteile sind in $\mathbb{C}$ definierte lineare Funktionen. Möglicherweise wurde hier das Wort Abbildung als Synonym für Funktion/Zuordnung benutzt. Und das erste Komma ist auch falsch...
Im Sinne der linearen Algebra sind diese Abbildungen/Funktionen natürlich nicht linear.
Mein Verdacht ist, dass das so geht (Beispiel für a):
$$
f(z)=3z+5i = 3\cdot (z+\frac{5}{3}i)
$$
Damit würde eine eingesetzte komplexe Zahl erst um $\frac53i$ verschoben. Damit wäre das Drehzentrum bei $-\frac53i$, weil sich dieser Punkt bei der anschließenden Multiplikation nicht dreht. Streckfaktor wäre hier 3, und da der Faktor keinen Imaginärteil hat, gibt es keine Drehung.
So richtig durchdacht habe ich das aber nicht....
Im Sinne der linearen Algebra sind diese Abbildungen/Funktionen natürlich nicht linear.
Mein Verdacht ist, dass das so geht (Beispiel für a):
$$
f(z)=3z+5i = 3\cdot (z+\frac{5}{3}i)
$$
Damit würde eine eingesetzte komplexe Zahl erst um $\frac53i$ verschoben. Damit wäre das Drehzentrum bei $-\frac53i$, weil sich dieser Punkt bei der anschließenden Multiplikation nicht dreht. Streckfaktor wäre hier 3, und da der Faktor keinen Imaginärteil hat, gibt es keine Drehung.
So richtig durchdacht habe ich das aber nicht....
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joergwausw
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Also dass $f(z)=mz+n$ eine lineare Funktion ist, ist doch eigentlich nicht auf $\mathbb{R}$ beschränkt. Und alle angegebenen Funktionen lassen sich in diese Form bringen.
In Bezug auf die geometrische Deutung gebe ich Dir völlig Recht - das war mein Verdacht, den ich mathematisch auch nicht auf Anhieb begründen kann. In der Aufgabe ist vermutlich etwas gemeint, was da nicht hingeschrieben wurde.
Eine Quelle zur Definition einer linearen Funktion im Komplexen habe ich gegoogelt: https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/kf/08/vorl02.pdf (Seite 4). Geometrische Deutungen kommen dort auf den anschließenden Seiten. Die Kombination von Translation und Drehstreckung, die ich auch interpretiert hatte, wird dort auch erläutert.
Das Problem: Die Kombination von Translation und Drehstreckung ist dann selber geometrisch keine Drehstreckung... und das ist die Crux an der Aufgabenstellung. ─ joergwausw 04.07.2021 um 16:20
In Bezug auf die geometrische Deutung gebe ich Dir völlig Recht - das war mein Verdacht, den ich mathematisch auch nicht auf Anhieb begründen kann. In der Aufgabe ist vermutlich etwas gemeint, was da nicht hingeschrieben wurde.
Eine Quelle zur Definition einer linearen Funktion im Komplexen habe ich gegoogelt: https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/kf/08/vorl02.pdf (Seite 4). Geometrische Deutungen kommen dort auf den anschließenden Seiten. Die Kombination von Translation und Drehstreckung, die ich auch interpretiert hatte, wird dort auch erläutert.
Das Problem: Die Kombination von Translation und Drehstreckung ist dann selber geometrisch keine Drehstreckung... und das ist die Crux an der Aufgabenstellung. ─ joergwausw 04.07.2021 um 16:20
Naja, auf "axiomatischen" Level wollte ich eigentlich nicht diskutieren. Tatsächlich ist mir der Unterschied zwischen "heißt" und "ist" in dieser Form noch nicht bewusst gemacht worden. Habe gerade mal durch alte Mitschriften geguckt. Wurde von meinen Profs tatsächlich so gemacht, ich kann mich aber nicht daran erinnern, dass explizit auf einen solchen Unterschied hingewiesen wurde... Danke für den Hinweis. Wäre dann im verlinkten Skript die Definition der Umkehrfunktion, die dort auf der letzten Seite mit "ist" erfolgt, gleichzeitig ein Satz...?
Aber um mal bei der eigentlichen Frage zu bleiben und abgesehen von ungenauen Formulierungen. Eine Funktioni heißt linear, wenn sie in der Form $f(z)=mz+n$ mit $m,n\in \mathbb{C}$ geschrieben werden kann. Und das ist bei den gegebenen Funktionen der Fall. Und das lässt sich durch entsprechende Umformung beweisen...
Sind wir uns inhaltlich einig, dass (diese) linearen Funktionen bei Interpretation der komplexen Zahlen als Ebene als Kombination von Abbildungen (Translation, Drehung, Streckung) verstanden werden können? Dann gäbe es zumindest eine Verbindung der gesuchten Eigenschaften zu den angegebenen Funktionen.
Dass die Aufgabe in der vorliegenden Formulierung problematisch ist, habe ich nie bestritten. ─ joergwausw 04.07.2021 um 17:30
Aber um mal bei der eigentlichen Frage zu bleiben und abgesehen von ungenauen Formulierungen. Eine Funktioni heißt linear, wenn sie in der Form $f(z)=mz+n$ mit $m,n\in \mathbb{C}$ geschrieben werden kann. Und das ist bei den gegebenen Funktionen der Fall. Und das lässt sich durch entsprechende Umformung beweisen...
Sind wir uns inhaltlich einig, dass (diese) linearen Funktionen bei Interpretation der komplexen Zahlen als Ebene als Kombination von Abbildungen (Translation, Drehung, Streckung) verstanden werden können? Dann gäbe es zumindest eine Verbindung der gesuchten Eigenschaften zu den angegebenen Funktionen.
Dass die Aufgabe in der vorliegenden Formulierung problematisch ist, habe ich nie bestritten. ─ joergwausw 04.07.2021 um 17:30
Linear heißt additiv und homogen, wenn dann ist sie affin linear! Aber du hast Recht, man kann die affin lineare Gruppe als Drehungen, Streckungen und Verschiebungen geometrisch interpretieren.
─
mathejean
04.07.2021 um 17:35
Dann bleibt mir als "Neuer" noch die Frage, ob wir hier eigentlich den Fragestellern beim Selberdraufkommen helfen sollen oder die Ergebnisse vorrechnen? Ich hatte eigentlich absichtlich a) gemacht und das auch nur halb, damit das vermutliche Prinzip klar wird... aber es scheint ja auch ok zu sein, direkt und kommentarlos mit einem leicht bearbeiteten Screenshot und der kompletten Lösung zu antworten... Dann kann man sich anregende Diskussionen wie diese auch sparen.
─
joergwausw
04.07.2021 um 18:29
@mikn: Skript - Eine Funktion heißt Umkehrfunktion, wenn... hätte ich jetzt eigentlich erwartet....
Aufgreifen: Tja - möchte ich am eigentlichen Problem arbeiten (das ja offensichtlich am Anfang nicht einmal klar war), oder erstmal Grundlagen beibringen...? Da erscheint mir Aufgreifen erstmal sinnvoller als auf neuem Vokabular bzw. auf Sprach-Konventionen zu bestehen. Insbesondere wenn das mit dem "Duktus" der Lehrkraft des Fragenden offenbar kollidiert (hatte aber selbst gerade an anderer Stelle eine Diskussion über Klammersetzung bei der Darstellung von Brüchen... ich kann mich da also auch dran aufhalten...)
Ja, direkte Kommunikation wäre sinnvoll, wenn es etwas zu besprechen gibt, was in einer Frage eigentlich fehl am Platz ist, wie diese ganze Diskussion... Entschuldigung an die unfreiwilligen Mitleser :-) ─ joergwausw 04.07.2021 um 19:06
Aufgreifen: Tja - möchte ich am eigentlichen Problem arbeiten (das ja offensichtlich am Anfang nicht einmal klar war), oder erstmal Grundlagen beibringen...? Da erscheint mir Aufgreifen erstmal sinnvoller als auf neuem Vokabular bzw. auf Sprach-Konventionen zu bestehen. Insbesondere wenn das mit dem "Duktus" der Lehrkraft des Fragenden offenbar kollidiert (hatte aber selbst gerade an anderer Stelle eine Diskussion über Klammersetzung bei der Darstellung von Brüchen... ich kann mich da also auch dran aufhalten...)
Ja, direkte Kommunikation wäre sinnvoll, wenn es etwas zu besprechen gibt, was in einer Frage eigentlich fehl am Platz ist, wie diese ganze Diskussion... Entschuldigung an die unfreiwilligen Mitleser :-) ─ joergwausw 04.07.2021 um 19:06
Vielen Vielen Dank euch allen!!!!!
─
peter11112
04.07.2021 um 21:31