Komplexe Zahlen Aufgabe

Aufrufe: 117     Aktiv: 05.07.2021 um 11:33

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Hey :) Wäre lieb, wenn mir jemand bei der 2c helfen könnte. Ich muss nur die 2 c machen ;)
Vielen Dank im Voraus 
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Die Abb. sind alle nicht linear und haben daher die gesuchten Eigenschaften gar nicht. Schlampige Aufgabenstellung (sieht man schon am ersten Wort). Was habt Ihr denn als "lin. Abb." definiert? Bitte im Original.   ─   mikn 04.07.2021 um 15:11

Ich denke mal es geht um affine lineare Abbildungen.   ─   mathejean 04.07.2021 um 15:13

Man nennt die affin-linearen manchmal auch linear. Macht auch oft kein Problem. Nur sind affin-linearen keine Drehungen usw., und denen diese Parameter zuzuordnen ist wirklich grober Unsinn.   ─   mikn 04.07.2021 um 15:26

Danke schon mal für eure Mühe! :) Wir haben leider nicht genau definiert was eine lineare Abbildung ist. Ich weiß was lineare Abbildung grundsätzlich bedeutet, aber ihr habt recht das macht hier keinen Sinn! Könntet ihr denn die Aufgabe lösen, wenn es einfach nur hieße: Bestimme Drehzentrum, Drehwinkel und Streckfaktor?   ─   peter11112 04.07.2021 um 15:32

Wie sind denn diese Begriffe (Drehzentrum....) usw. definiert? Und Ihr habt sicher ein Beispiel gemacht, welches konkret? Und fang mit a) an (auch wenn das nicht die eigentliche Aufgabe ist). Unsere Tipps müssen ja zu Deiner Lehrveranstaltung passen, und bei der (freundlich formuliert) eigenwilligen Begriffsbildung muss man da ohne weitere Info vorsichtig. Ich hab diese Begriffe NIE und NIRGENDWO in diesem Zusammenhang gesehen.   ─   mikn 04.07.2021 um 15:42
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Es gilt doch Folgendes:

also:
\(f(z)=(4+3i)z-3(1+i)\Rightarrow a=4+3i;b=-3(1+i)\)
und damit handelt es sich um
  • eine Drehung mit \(\alpha=arctan(0.75)=36,86^0\)
  • eine Streckung um \(|a|=5\)
  • eine Verschiebung um \(b=-3-3i\)

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Genau! Nur \(f\) ist nicht linear, sondern nur affin linear.   ─   mathejean 04.07.2021 um 18:02

Vielen vielen Dank euch alle für eure Mühe!!!!!   ─   peter11112 04.07.2021 um 21:31

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@mikn: Das Problem der Linearität war mir schon im Anfang meiner Fachleitertätigkeit vor 45 Jahren aufgestoßen, weil für mich war immer Linearität im Sinn der Linearen Algebra und nicht im Sinne der Schulmathematik, bis heute!!  
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Also ich hatte in der Schule sowas auch noch als affine lineare Abbildung gelernt, so steht es sogar noch in meinem alten Tafelwerk. Ich bin jetzt persönlich auch etwas schockiert, dass diese wesentliche Differenzierung nicht mehr vorgenommen wird. Anbei noch ein passender Wikipedia-Artikel über die allgemeine affine Gruppe (so habe ich es auch in Lineare Algebra gelernt): https://de.m.wikipedia.org/wiki/Affine_Gruppe   ─   mathejean 05.07.2021 um 10:15

Ich finde diesen Zusatz "im Sinne der linearen Algebra" befremdlich. Auch in der Analysis, insb. Funktionanalysis, in der Systemtheorie, usw. gibt es den Begriff "lineare Funktion", und da ist er (natürlich) genauso definiert wie in der lin. Alg.. Aber die Bezeichnung "lineare Funktion" für affin-lineare ist so weit verbreitet (auch international), da kommt man nicht gegen an. Müssen wir wohl mit leben.   ─   mikn 05.07.2021 um 11:33

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Lineare Funktionen sind jedenfalls definiert als $f(z)=m\cdot z+n$ und die drei Aufgabenteile sind in $\mathbb{C}$ definierte lineare Funktionen. Möglicherweise wurde hier das Wort Abbildung als Synonym für Funktion/Zuordnung benutzt. Und das erste Komma ist auch falsch...
Im Sinne der linearen Algebra sind diese Abbildungen/Funktionen natürlich nicht linear.


Mein Verdacht ist, dass das so geht (Beispiel für a):
$$
f(z)=3z+5i = 3\cdot (z+\frac{5}{3}i)
$$
Damit würde eine eingesetzte komplexe Zahl erst um $\frac53i$ verschoben. Damit wäre das Drehzentrum bei $-\frac53i$, weil sich dieser Punkt bei der anschließenden Multiplikation nicht dreht. Streckfaktor wäre hier 3, und da der Faktor keinen Imaginärteil hat, gibt es keine Drehung.

So richtig durchdacht habe ich das aber nicht....
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Diese sind NICHT lineare Funktionen. Weder im Sinne der linearen Algebra noch der Analysis noch sonstwo in der Mathematik. In der Schule wird das manchmal so gemacht (schlimm genug), aber wenn man in C ist, dann hoffentlich auch dort nicht. Bitte eine Quelle angeben, wo das als linear definiert ist, da scheine ich Lücken zu haben. So kann man eben nur spekulieren wie's gemeint ist.
Abbildung ist synonym zu Funktion.
@joerg: Bitte ganz klar unterscheiden, nennt man sie so oder sind sie das. Sie SIND es definitiv nicht.
  ─   mikn 04.07.2021 um 16:11

Also dass $f(z)=mz+n$ eine lineare Funktion ist, ist doch eigentlich nicht auf $\mathbb{R}$ beschränkt. Und alle angegebenen Funktionen lassen sich in diese Form bringen.

In Bezug auf die geometrische Deutung gebe ich Dir völlig Recht - das war mein Verdacht, den ich mathematisch auch nicht auf Anhieb begründen kann. In der Aufgabe ist vermutlich etwas gemeint, was da nicht hingeschrieben wurde.

Eine Quelle zur Definition einer linearen Funktion im Komplexen habe ich gegoogelt: https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/kf/08/vorl02.pdf (Seite 4). Geometrische Deutungen kommen dort auf den anschließenden Seiten. Die Kombination von Translation und Drehstreckung, die ich auch interpretiert hatte, wird dort auch erläutert.

Das Problem: Die Kombination von Translation und Drehstreckung ist dann selber geometrisch keine Drehstreckung... und das ist die Crux an der Aufgabenstellung.
  ─   joergwausw 04.07.2021 um 16:20

@joerg: "Also dass f(z)=mz+n eine lineare Funktion ist, ist doch eigentlich nicht auf R beschränkt."
Auch in Deiner Quelle steht nur "heißt" und nicht "ist". Das macht einen Unterschied, den man NICHT verwischen darf. Unterschied zwischen Definition und Satz. Ich gehe auch davon aus, dass A. Iske das in der Vorlesung erklärt hat.
  ─   mikn 04.07.2021 um 16:32

Naja, auf "axiomatischen" Level wollte ich eigentlich nicht diskutieren. Tatsächlich ist mir der Unterschied zwischen "heißt" und "ist" in dieser Form noch nicht bewusst gemacht worden. Habe gerade mal durch alte Mitschriften geguckt. Wurde von meinen Profs tatsächlich so gemacht, ich kann mich aber nicht daran erinnern, dass explizit auf einen solchen Unterschied hingewiesen wurde... Danke für den Hinweis. Wäre dann im verlinkten Skript die Definition der Umkehrfunktion, die dort auf der letzten Seite mit "ist" erfolgt, gleichzeitig ein Satz...?

Aber um mal bei der eigentlichen Frage zu bleiben und abgesehen von ungenauen Formulierungen. Eine Funktioni heißt linear, wenn sie in der Form $f(z)=mz+n$ mit $m,n\in \mathbb{C}$ geschrieben werden kann. Und das ist bei den gegebenen Funktionen der Fall. Und das lässt sich durch entsprechende Umformung beweisen...

Sind wir uns inhaltlich einig, dass (diese) linearen Funktionen bei Interpretation der komplexen Zahlen als Ebene als Kombination von Abbildungen (Translation, Drehung, Streckung) verstanden werden können? Dann gäbe es zumindest eine Verbindung der gesuchten Eigenschaften zu den angegebenen Funktionen.

Dass die Aufgabe in der vorliegenden Formulierung problematisch ist, habe ich nie bestritten.
  ─   joergwausw 04.07.2021 um 17:30

Linear heißt additiv und homogen, wenn dann ist sie affin linear! Aber du hast Recht, man kann die affin lineare Gruppe als Drehungen, Streckungen und Verschiebungen geometrisch interpretieren.   ─   mathejean 04.07.2021 um 17:35

Dann bleibt mir als "Neuer" noch die Frage, ob wir hier eigentlich den Fragestellern beim Selberdraufkommen helfen sollen oder die Ergebnisse vorrechnen? Ich hatte eigentlich absichtlich a) gemacht und das auch nur halb, damit das vermutliche Prinzip klar wird... aber es scheint ja auch ok zu sein, direkt und kommentarlos mit einem leicht bearbeiteten Screenshot und der kompletten Lösung zu antworten... Dann kann man sich anregende Diskussionen wie diese auch sparen.   ─   joergwausw 04.07.2021 um 18:29

@joerg: Zum Skript: Das ist eine Kombination von Satz und Def.. Drin steckt: "Dann gibt es eine Funktion, die .... " (der "Satz-Teil"), diese Funktion nennt man (äquivalent zu "heißt") Umkehrfunktion und schreibt..
Für den Fragesteller ist die Frage linear oder nicht eher uninteressant. Ich als Antworter würde aber nicht die verwirrende Begriffsbildung auch noch selbst aufgreifen. Einig sind wir uns, dass diese Abbildungen als Komposition (nicht Kombination) von Drehungen, Streckungen und Verschiebungen geschrieben werden. Und das ist hier vermutlich gemeint.
Ich würde übrigens auch nie schreiben "f(z)=z+b" ist eine Verschiebung. Der Unterschied zwischen Funktion und Funktionswert wird oft verwischt - was später, beim Programmieren, beim Arbeiten mit Signalen (E-Technik) Probleme aufwirft. "z+b" ist das Ergebnis der Verschiebung, die f auf die Zahl z ausübt.
  ─   mikn 04.07.2021 um 18:38

@joerg: Es halten sich nicht alle an die Foren-Regeln, nicht alle Fragesteller und auch nicht alle "alten" Beantworter. Ich selbst finde es hier gut, wenn man a) ganz vorrechnet. Dann kann sich der Frager selbst an den anderen versuchen und immer noch fragen, falls nötig.
Zur Diskussion: Die Betreiber planen evtl den Fragern Kommunikation untereinander über einen separaten chat zu ermöglichen. Dann hätten wir unsere Diskussionen ohne die Frager zu verwirren.
  ─   mikn 04.07.2021 um 18:43

@mikn: Skript - Eine Funktion heißt Umkehrfunktion, wenn... hätte ich jetzt eigentlich erwartet....

Aufgreifen: Tja - möchte ich am eigentlichen Problem arbeiten (das ja offensichtlich am Anfang nicht einmal klar war), oder erstmal Grundlagen beibringen...? Da erscheint mir Aufgreifen erstmal sinnvoller als auf neuem Vokabular bzw. auf Sprach-Konventionen zu bestehen. Insbesondere wenn das mit dem "Duktus" der Lehrkraft des Fragenden offenbar kollidiert (hatte aber selbst gerade an anderer Stelle eine Diskussion über Klammersetzung bei der Darstellung von Brüchen... ich kann mich da also auch dran aufhalten...)

Ja, direkte Kommunikation wäre sinnvoll, wenn es etwas zu besprechen gibt, was in einer Frage eigentlich fehl am Platz ist, wie diese ganze Diskussion... Entschuldigung an die unfreiwilligen Mitleser :-)
  ─   joergwausw 04.07.2021 um 19:06

@joerg: Meine Ausführungen zum Vokabular haben sich, nach anfänglicher Klarstellung, ja ausdrücklich an Dich gerichtet, nicht an den Frager (der hat andere Sorgen). "Unfreiwillig" liest also keiner mit.   ─   mikn 04.07.2021 um 19:57

Vielen Vielen Dank euch allen!!!!!   ─   peter11112 04.07.2021 um 21:31

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