Zusammenhängend

Aufrufe: 456     Aktiv: 26.05.2022 um 23:54

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Hallo, ich soll zeigen, dass die Menge:
H := {(x,y,z)∈RR^3 : x^2 + y^2 - z^2 > 0 } zusammenhängend ist. 

Meine Idee: Ich zeige, dass die Menge Wegzusammenhängend ist. 

Seien hierzu a und b zwei beliebige Punkte aus H, so gilt mit der Funktion
f: [0,1] - > H, 
t -> t * b + (1-t) * a.
so gilt schonmal f(0) = a und f(1) = b 

Außerdem gilt für jedes t ∈ [0,1],  f(t) ∈ H, also bleibt man immer in der Menge H.

Passt das so?
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1 Antwort
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Das passt, wenn Du nicht nur einfach behauptest, dass $f(t)\in H$ gilt, sondern es auch nachweist. Wo ist der Nachweis dafür? Lade den mal hoch.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.21K

 

seien t ∈ ]0,1[, a = (a1, a2, a3) und b = (b1,b2,b3), so gilt schonmal:
a1 + a2 - a3 > 0 ist äquivalent zu a1 + a2 > a3 ist äquivalent zu t * (a1 + a2) > t* a3 (weil t > 0) und das ist äquivalent zu t*(a1 + a2 - a3) > 0.
Analog mit b, da 1-t > 0 ist.
Demzufolge ist die Addition von zwei positiven Werten weiterhin positiv. Somit erhalten wir für t ∈ ]0,1[ , f(t) ∈ H
und die zwei weiteren Fälle mit t = 0 und t = 1 haben wir ja bereits geprüft
  ─   user1312000 26.05.2022 um 21:03

und die Metrik habe ich vergessen :D Da aber nach definition absolute Homogenität gilt und |t| = t ist, ändert das auch nicht viel   ─   user1312000 26.05.2022 um 21:06

Hm, war ich wohl bisschen zu voreilig.
Ich merke zudem gerade, dass ich bei der Menge einen Fehler hatte, es ist nämlich die Menge
H_a := {(x,y,z)∈RR^3 : x^2 + y^2 - z^2 > a } und ich soll zeigen, dass H_a für a > 0 Zusammenhängend ist. Da muss man ja noch zeigen, dass man auch in der richtigen Menge landet und nicht nur >0
  ─   user1312000 26.05.2022 um 21:24

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.