Zusammenhängend

Aufrufe: 286     Aktiv: 26.05.2022 um 23:54

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Hallo, ich soll zeigen, dass die Menge:
H := {(x,y,z)∈RR^3 : x^2 + y^2 - z^2 > 0 } zusammenhängend ist. 

Meine Idee: Ich zeige, dass die Menge Wegzusammenhängend ist. 

Seien hierzu a und b zwei beliebige Punkte aus H, so gilt mit der Funktion
f: [0,1] - > H, 
t -> t * b + (1-t) * a.
so gilt schonmal f(0) = a und f(1) = b 

Außerdem gilt für jedes t ∈ [0,1],  f(t) ∈ H, also bleibt man immer in der Menge H.

Passt das so?
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Das passt, wenn Du nicht nur einfach behauptest, dass $f(t)\in H$ gilt, sondern es auch nachweist. Wo ist der Nachweis dafür? Lade den mal hoch.
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seien t ∈ ]0,1[, a = (a1, a2, a3) und b = (b1,b2,b3), so gilt schonmal:
a1 + a2 - a3 > 0 ist äquivalent zu a1 + a2 > a3 ist äquivalent zu t * (a1 + a2) > t* a3 (weil t > 0) und das ist äquivalent zu t*(a1 + a2 - a3) > 0.
Analog mit b, da 1-t > 0 ist.
Demzufolge ist die Addition von zwei positiven Werten weiterhin positiv. Somit erhalten wir für t ∈ ]0,1[ , f(t) ∈ H
und die zwei weiteren Fälle mit t = 0 und t = 1 haben wir ja bereits geprüft
  ─   user1312000 26.05.2022 um 21:03

und die Metrik habe ich vergessen :D Da aber nach definition absolute Homogenität gilt und |t| = t ist, ändert das auch nicht viel   ─   user1312000 26.05.2022 um 21:06

Es ist immer gut, wenn man erstmal aufschreibt, was zu zeigen ist. Das ist nämlich nicht das, was Du berechnet hast (und nicht nur, weil Du a und b vertauscht hast im Vergleich zu Deiner Beh.).
Zu zeigen ist: $(ta_1+(1-t)b_1)^2 + (ta_2+(1-t)b_2)^2-(ta_3+(1-t)b_3)^2 >0$. Das ist schon ein anderes Kaliber.
Diese Beh. würde bedeuten, dass $H$ konvex ist. Wenn Du es plottest, siehst Du, dass $H$ nicht konvex ist.
Also, überlege nochmal, aber sorgfältig.
PS: Ich sehe in der Aufgabe keine Metrik und auch nicht, was das ganze mit Homogenität von was auch immer zu tun hat.
  ─   mikn 26.05.2022 um 21:13

Hm, war ich wohl bisschen zu voreilig.
Ich merke zudem gerade, dass ich bei der Menge einen Fehler hatte, es ist nämlich die Menge
H_a := {(x,y,z)∈RR^3 : x^2 + y^2 - z^2 > a } und ich soll zeigen, dass H_a für a > 0 Zusammenhängend ist. Da muss man ja noch zeigen, dass man auch in der richtigen Menge landet und nicht nur >0
  ─   user1312000 26.05.2022 um 21:24

Unter https://www.geogebra.org/3d gib ein x^2+y^2-z^2=1 ein, dann siehst Du das Gebilde für a=1. H_a ist aber dann das Äußere (das findet man am schnellsten durch Testen eines Punkt, es kann ja nur das Innere oder Äußere sein). Dann sieht man zwar, dass es wegweise zusammenhängend ist, aber den verbindenden Weg müsste man sich zusammensetzen aus mehreren Teilstücken. Das wird dann einiges zu Schreiben und zu Rechnen (für den Nachweis). Vielleicht gibt es auch einfachere Nachweise.   ─   mikn 26.05.2022 um 23:54

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