Beweis durch vollständige Induktion

Aufrufe: 769     Aktiv: 17.11.2019 um 18:50
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Hallo liebe Community,

Ich soll die Ungleichung 2^n > n^2 für n≥5 durch vollständige Induktion beweisen. Leider schaffe ich es nicht einen vollständigen Beweis zu erbringen.

Ich hoffe ich finde hier Hilfe für mein Problem.

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Student, Punkte: 138

 
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Hey,

eine vollständige Induktion geht so:

  1. Induktionsanfang: Du zeigst, dass es ein n gibt, für das die Aussage gilt. Hier wäre n=5 geschickt.
  2. Induktionsvoraussetzung: Hier schreibt man ungefähr folgendes hin: "Es gibt ein n für das gilt: (hier steht dann die Aussage)"
  3. Induktionsschluss: Jetzt setzt du das n auf n+1 und formst die Ungleichung so um, dass du deine Induktionsvoraussetzung benutzen kannst.

Denn wenn die Aussage für ein n gilt und auch für n+1, dann gilt sie für alle n. Das ist so ungefähr die Grundidee hinter einem Beweis mit vollständigen Induktion.

Hoffe ich konnte dir etwas helfen :)

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Der Ablauf für eine vollständige Induktion ist mir bekannt. Mein Problem ist nur, dass ich es für diese Ungleichung nicht schaffe. Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung sind kein Problem, aber ich komme beim Induktionsschluss nicht weiter.   ─   peterneumann 17.11.2019 um 00:28
Okay. Fange links an, setze für n nun n+1 ein und forme die linke Seite dann so um, dass du deine Induktionsvoraussetzung nutzen kannst (also dass du ein \(2^n\) stehen hast, das du mit \(n^2\) kleiner abschätzen kannst). Dann überleg dir das Ziel, also setze mal in die rechte Seite n+1 statt n ein, um zu sehen was du raus bekommen möchtest. Dann sieht man es mMn schon sofort dass die Ungleichung gilt.
Probiere es mal. Wenn du die Lösung brauchst, gib Bescheid.   ─   math97 17.11.2019 um 18:50

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