Beweis mit Induktion

Erste Frage Aufrufe: 140     Aktiv: 27.10.2022 um 18:12

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Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für \( n \in \mathbb{N} \) existiert keine surjektive Abbildung von \( \{1,2, \ldots, n\} \) auf eine echt größere Teilmenge von \( \mathbb{N} \).
 
Erläuterung: Ist \( M \) eine Menge und sind \( A, B \subset M \) Teilmengen, so heißt \( A \) echt größer als \( B \), falls \( A \supsetneq B \).


Könnte mir evtl. jemand einen Lösungsweg schicken, wobei es mir am meisten auf die korrekte Schreibweise ankommt . Vielen lieben Dank.
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Punkte: 10

 

Lösungen bekommst du hier nicht. Hilfe zu deinen Überlegungen allerdings schon.   ─   cauchy 27.10.2022 um 16:44

Vielen Dank für die Antwort

Ich denke mal die Idee dahinter ist recht simpel :

Es gibt eine Menge A :{1,2,...,n+1} (mit n+1 Elementen und ist echte Obermenge von ℕ.)



Beh. : Die Abbildung g: ℕ→A sei surjektiv .



Dann gilt die Behauptung für das kleinste Element n=1 schonmal nicht, da die Menge { 1} echte Teilmenge von A ist.

. Ind. schritt :



Angenommen die Behauptung gelte für ein n∈ℕ .Dann ist ℕ∩A= ℕ (Annahme)

Dann muss sie auch für {1,2,...,n+1}∩A gelten.

Also (ℕ∪{n+1})∩A = A

Dann Disteibutivgesetz und N geschnitten A durch Annahme erstzen..



LG
  ─   user4b03c5 27.10.2022 um 18:12
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