Quadratische Funktionen Nullstellen ermitteln

Erste Frage Aufrufe: 170     Aktiv: 10.05.2022 um 12:12

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Wir sind gerade am lernen und versuchen Aufgabe 2. zu lösen, haben aber keinen Ansatz.
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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Bei den Teilaufgaben a) und b) verwende mal den Satz vom Nullprodukt. Also ein Produkt wird Null wenn einer der Faktoren Null wird. Man prüft also wann die verschiedenen geklammerten Terme Null werden.

Bei Teilaufgabe c) substituierst ihr mal $z=x^2$. Dann habt ihr eine quadratische Gleichung die ihr bestimmt lösen könnt.

Falls ihr nicht weiterkommst, bearbeitet eure Frage und ladet den Rechenweg hoch. Dann können wir sehen wo es hakt und damit besser helfen.
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Hallo, joa wir sind gerade irgendwie alle am verzweifeln und bräuchten den ganzen Lösungsweg von a) und b). Aufgabe c) haben wir auch jetzt richtig!

Danke schonmal im voraus.
  ─   user42e201 08.05.2022 um 17:46

was kommt den raus, wenn du in a) z.B. für x=2 einsetzt. ?   ─   scotchwhisky 08.05.2022 um 19:06

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@user42e201 vollständige Lösungen gibt es hier nicht. Wir erarbeiten hier mit dir gemeinsam die Lösung, nur so lernt ihr auch was dabei.

Also ein Produkt wird Null wenn einer der Faktoren Null wird. Wenn du jetzt also bei a) $0=(\ldots)\cdot (\ldots)\cdot (\ldots)^4$ betrachtest, musst du schauen wann jeder einzelne Term in den Klammern jeweils Null werden kann. Also als erstes $0=x-2$ betrachten usw.
  ─   maqu 08.05.2022 um 19:28

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Nachdem Fundamentalsatz der Algebra und der Einbettung $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ folgt, dass jedes Polynom vom Grad $N \in \mathbb{N} $ genau $N$ Nullstellen hat (den Fall, wo das Polynom konstant ist, lasse ich mal außen vor). Wir müssen also nur noch alle komplexen Nullstellen ermitteln. Ich mache es mal bei Aufgabenteil $b)$ vor:

$$f(x)=(x^2-6)(x^2+5)x=(x+\sqrt{6}) (x-\sqrt{6})(x+i\sqrt{5})(x-i\sqrt{5})(x-0)$$

Inbesonder sind die komplexen Zahlen ein Integritätsbereich und daraus folgt, dass $f(x)=0$ gdw mindestens einer der Linearfaktoren gleich $0$ ist. In diesem Fall ergibt sich die Nullstellenmenge als

$$N=\{ -\sqrt{6}, \sqrt{6},-i\sqrt{5},i\sqrt{5},0 \}$$

Kurzer sanity check: Unser Polynom hat Grad $5$ und wir haben $5$ paarweise verschiedene Nullstellen gefunden.Also entspricht die Menge $N$ tatsächlich die Menge aller Nullstellen. Ich hoffe, ich konnte dir helfen, wenn du Fragen hast, schreib mir ruhig in die Kommentare!

 

#MathebyDanielJung #Bildungsgerechtigkeit #fun

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Der Fundamentalsatz der Algebra ist nicht wirklich schülergerecht. Komplexe Nullstellen werden in der Schule auch nicht abgefragt.   ─   maqu 09.05.2022 um 19:09

Hierbei geht es vor allem darum, dass man vor allem Interesse an der Mathematik weckt, insbesondere bei den Leuten, wo man es nie vermuten würde. Selbstverständlich hätte man auch einfach die Abschätzung $x^2+5 >0$ nutzen können und dadurch wie gewohnt mit der binomischen Formel arbeiten können, jedoch empfand ich diese Lösung als weniger systematisch.   ─   youngmills 09.05.2022 um 19:47

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Mit Begriffen wie Einbettung oder Integritätsbereich schreckt man Schüler aber eher ab. Es ist schon viel verlangt wenn der Frager mit dem Begriff Polynom etwas anzufangen weiß. Außerdem kann man in den Kommentaren oben erkennen, dass man hier nur versucht schnell eine Lösung abzugreifen, wie leider so oft. Den Blick „Hinter die Kulissen“ strebt man hier glaube ich nicht an.   ─   maqu 09.05.2022 um 20:04

Ich empfine es nicht als Teil einer echten Bildgunsgerechtigkeit, Lernenden das alles vorzuenthalten und sie als Person darzustellen, die einfach nur Lösungen möchte und kein Interesse hat. Das ist sicherlich nicht im Sinne von dem, was Daniel Jung mit Frank Thelen besprochen hat - gerade die Leute muss man abholen und motivieren!   ─   youngmills 10.05.2022 um 01:18

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Wer keine einfachen quadratischen Gleichungen lösen kann, wird wohl kaum zu dieser Gruppe von Personen gehören, die etwas von deiner Antwort verstehen. Man sollte die Leute schon da abholen, wo sie stehen.   ─   cauchy 10.05.2022 um 02:45

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@youngmills du sagst ja solche Leute muss man abholen, das sehe ich in deiner Antwort aber nicht? Entscheidend ist ja das was cauchy sagt, die Leute dort abzuholen wo sie mit dem Verständnis steckengeblieben sind.
Ob Bildungsgerechtigkeit jetzt bedeuten soll, den Lernenden mit Themen zu konfrontieren die (wenn überhaupt erst durch ein Studium in diesem Fach) in ferner Zukunft vermittelt werden, wage ich zu bezweifeln. Wer sich wirklich dafür interessiert wie man z.B. komplexe Gleichungen lösen kann, der kann sich mittlerweile jede nötige Information aus dem Netz ziehen.
  ─   maqu 10.05.2022 um 09:03

Da war einer wohl nie Schüler (sondern immer schon Überflieger) und hatte noch nie Kontakt mit Schülern und deren Problemen (vom Schummelversuch mal abgesehen)   ─   monimust 10.05.2022 um 09:06

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Problem ist, dass hier nichts besonderes gemacht wird, sondern nur Begriffe eingeführt werden. Wenn man interesse wecken will, kann man sprechen über Symmetrie von Lösungen des Polynoms (kann man auch ohne über Galois-Gruppen) zu sprechen. Wenn wir nämlich Nullstelle 0 weglassen, haben wir alle Voraussetzungen für eine Galoiserweiterung. Das braucht man aber gar nicht sagen. Wenn man sich nur die Menge \(\{-\sqrt{6},\sqrt{6},i\sqrt{5},-i\sqrt{5}\}\) anschaut, erkennt man auch als Schüler hier eine Symmetrie, es ist Diedergruppe/kleinsche Vierergruppe. Was ich sagen möchte, man kann vieles Interesse wecken und komplexe Themen beleuchten ohne viele neue Begriffe. Grade wenn Begriffe nicht wichtig, ich habe noch nie gehört, dass jemand sagt komplexe Zahlen sind Integritätsbereich, weil es so offensichtlich ist und sich da niemand ernsthaft drüber Gedanken macht   ─   mathejean 10.05.2022 um 09:25

Okay, für alle die es noch nicht verstanden haben: Ich bin ein Troll. Danke für eure Zeit und Aufmerksamkeit.

PS: Auf die Galoiserweiterung hätte ich auch kommen sollen/müssen. Props, das macht die Antwort nur noch unnötig komplizierter.
  ─   youngmills 10.05.2022 um 10:59

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@youngmills dann bist du nur eine arme verlorene Seele die zu viel Zeit hat und zu provozieren. Das tut mir fast schon Leid. Ich bin mir sicher du hättest das geistige Potenzial anderen zu helfen. Schade das du das verschenkst. Aber gut zu wissen in Zukunft nicht mehr auf dich zu reagieren! Don‘t feed the Trolls.   ─   maqu 10.05.2022 um 12:12

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