Untervektorraum Gleichheit zeigen

Aufrufe: 1007     Aktiv: 02.06.2020 um 13:03

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Um zu zeigen dass zwei Untervektorräume dieselben sind, müsste man ja zeigen dass die erzeugenden Vektoren von U1 in U2 liegen und umgekehrt. Jedoch sind es hier keine spezifischen Vektoren und mir fällt nicht ein wie ich ein LGS aufstellen könnte.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!

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Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!

Also such ich mir zu den Vektor ai 2 weitere Vektoren aj und ak (die jeweils unterschiedliche Indizes haben?) , um ai linear zu kombinieren, Also: (ai + aj) + (ai + 2ak) - (aj + ak) - (ai + ak) = ai
Weil alle Vektoren jeweils in U2 liegen muss auch die Summe davon , also ai, in U2 liegen.

So?
  ─   benutzer333 28.05.2020 um 23:55

(ai + 2ak) ist so ja nicht direkt in U2 enthalten. Aber man koennte schreiben \(0.5*[ (a_i + a_j) - (a_j + a_k) + (a_i + a_k) ] = a_i \) was ja in U1 ist.   ─   aaa 29.05.2020 um 13:22
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Es reicht zu zeigen, dass du jeden der erzeugenden Vektoren des einen Unterraums als Linearkombination von erzeugenden Vektoren des andern darstellen kannst. Die eine Richtung ist offensichtlich: `vec a_i + vec a_j` ist offensichtlich eine Linearkombination von Vektoren aus `vec a_1, ..., vec a_n`. Zu zeigen ist noch die Umkehrung: Jeder der Vektoren `vec a_i` ist eine Linearkombination von Vektoren der Form `vec a_j + vec a_k`.
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