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In den Kommentaren stimmt einiges nicht.
Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist \(\bf nicht\) die Zielmenge von f, sondern die Bildmenge von f. Diese ist aber nicht von vornherein ersichtlich.
Daher ist auch Deine Frage, was ist wenn f:Z->R wäre, eine sehr gute, an der man sich das klar machen kann. Ich nenne die jetzt mal h:
h: Z -> R, def. durch h(x)=2x-2.
h ist injektiv (gleiche Rechnung wie oben). Bei der Prüfung auf surjektiv stellt man aber fest, dass es \(\bf nicht\) für alle t in R ein s in Z gibt mit h(s)=t. Die t's, für die das geht (in diesem Fall: t in Z) bilden die Bildmenge von h. Daher ist h:Z->Z surjektiv und damit bijektiv (injektiv hatten wir ja schon). Für die Umkehrfunktion h^(-1) gilt dann: h^(-1):Z->Z und lautet wie oben.
Korrektes Vorgehen:
1. Prüfen, ob f injektiv (wie oben, aber bitte nicht "Annahme", denn wenn man es annimmt, braucht man es ja nicht zu zeigen):
2. Prüfen, ob f surjektiv sein kann: (nicht "Annahme"; und es hieße: für alle t in R \( \bf gibt\,es\, ein\, s\, mit\) f(s)=t. Dabei merkt man dann schon, für welche t das nicht geht.
3. Umkehrfunktion, die von Bildmenge von f (nicht Zielmenge!!!) nach Definitionsbereich von f geht, berechnen: Ist meist schon in 2. passiert.
Also: Zielmenge von f^(-1) ist Definitionsbereich von f. Aber Definitionsbereich von f^(-1) ist die Bildmenge von f (nicht die Zielmenge).
Alles klar?
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 40.3K
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Deine Kritik ist leider nicht korrekt. Die Umkehrfunktion muss als Definitionsmenge die Zielmenge der Funktion haben, ansonsten ist deren Verkettung nämlich nicht wohldefiniert. Beachte, dass die Verkettung zweier Funktionen \(f:A \to B \) und \(g: C \to D \) nur dann definiert ist, wenn \(B=C\) ist.
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42
03.06.2020 um 13:07
An deiner Definition der Zielmenge hat auch niemand gezweifelt. Deine Definition der Komposition und der Umkehrfunktion sind falsch. Da du dich offenbar an Wikipedia hältst, schau mal hier https://de.m.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik) und hier https://de.m.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion nach. Da stehen die genauen Definitionen. Es ist übrigens wichtig, dass die Definition genau so sind und nicht anders, sonst bekommt man nämlich beispielsweise in der Kategorientheorie Schwierigkeiten mit den Definitionen.
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42
03.06.2020 um 13:55
Bei Wikipedia ist die Komposition nur für Funktionen \(f: A \to B\) und \(g: B \to C\) definiert. Also Definitionsmenge von \(g\) gleich Zielmenge von \(f\).
Es ist übrigens korrekt, dass man in deinem Beispiel die Komposition von \(f\) mit sich selbst formal nicht bilden kann bzw. darf. Wenn man das tun will, dann muss man eines der \(f\) entweder im Wertebereich oder im Zielbereich einschränken. Beachte, dass Schreibweisen wie \(f^2\) immer Kurzschreibweisen sind und diese implizieren, dass die \(f\) entsprechend angepasst werden müssen.
Wie ich bereits sagte, sind solche Definitionen sehr wichtig in der Algebra. Eine Definition der Verknüpfung so wie du sie hier angibst, würde die Definition von Morphismen einer Kategorie wesentlich erschweren.
Außerdem wären nach deiner Definition "bijektiv" und "umkehrbar" nicht mehr äquivalent. Aber diese Äquivalenz ist zentraler Bestandteil vieler Definitionen, beispielsweise von Isomorphismen. ─ 42 03.06.2020 um 15:45
Es ist übrigens korrekt, dass man in deinem Beispiel die Komposition von \(f\) mit sich selbst formal nicht bilden kann bzw. darf. Wenn man das tun will, dann muss man eines der \(f\) entweder im Wertebereich oder im Zielbereich einschränken. Beachte, dass Schreibweisen wie \(f^2\) immer Kurzschreibweisen sind und diese implizieren, dass die \(f\) entsprechend angepasst werden müssen.
Wie ich bereits sagte, sind solche Definitionen sehr wichtig in der Algebra. Eine Definition der Verknüpfung so wie du sie hier angibst, würde die Definition von Morphismen einer Kategorie wesentlich erschweren.
Außerdem wären nach deiner Definition "bijektiv" und "umkehrbar" nicht mehr äquivalent. Aber diese Äquivalenz ist zentraler Bestandteil vieler Definitionen, beispielsweise von Isomorphismen. ─ 42 03.06.2020 um 15:45
Beachte auch, dass nach deiner Definition bereits jede injektive Funktion umkehrbar wäre, weil eine Funktion immer surjektiv auf ihrem Bild ist.
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42
03.06.2020 um 15:47
Die Definition so wie du sie hier angibst, entspricht lokaler Umkehrbarkeit. Wenn man aber nur umkehrbar sagt, meint man in der Regel globale Umkehrbarkeit.
Generell kann man sich in der Mathematik natürlich die Dinge so definieren, wie man möchte (zumindest in den meisten Fällen). Allerdings wird meine Definition an unserer Universität von jedem der Professoren gelehrt, sie steht in Wikipedia und ich habe sie auch noch in keinem Fachjournal anders gesehen. Ich würde also behaupten, dass meine Definition eher dem wissenschaftlichen Konsens entspricht. Aber wie ich bereits sagt: Beim Thema Definitionen ist ja jeder relativ frei. ─ 42 03.06.2020 um 16:09
Generell kann man sich in der Mathematik natürlich die Dinge so definieren, wie man möchte (zumindest in den meisten Fällen). Allerdings wird meine Definition an unserer Universität von jedem der Professoren gelehrt, sie steht in Wikipedia und ich habe sie auch noch in keinem Fachjournal anders gesehen. Ich würde also behaupten, dass meine Definition eher dem wissenschaftlichen Konsens entspricht. Aber wie ich bereits sagt: Beim Thema Definitionen ist ja jeder relativ frei. ─ 42 03.06.2020 um 16:09
Um vielleicht noch mal auf die Fragestellerin zurückzukommen: Du solltest am besten mal nachschauen, was dein Professor definiert hat und dann schauen, welche von den Antworten hier am besten passt.
P.s. Tut mir leid, dass wir hier deine Kommentare zuspamen. Aber daraus kannst du vielleicht auch was für deine mathematische Arbeit mitnehmen: Gerade Definitionen sind in der Mathematik ein umstrittenes Thema :D ─ 42 03.06.2020 um 16:13
P.s. Tut mir leid, dass wir hier deine Kommentare zuspamen. Aber daraus kannst du vielleicht auch was für deine mathematische Arbeit mitnehmen: Gerade Definitionen sind in der Mathematik ein umstrittenes Thema :D ─ 42 03.06.2020 um 16:13
Bevor ich darauf antworte, möchte ich zunächst versichern, dass ich nicht herablassend über dich denke. Sogar im Gegenteil. Ich finde sachliche, mathematische Diskussionen schön und ich betrachte meine Gesprächspartner dann auch wirklich als Partner. Wenn ich dir da einen anderen Eindruck vermittelt habe, dann möchte ich mich dafür entschuldigen.
Nun zur Antwort: Man kann sehr wohl von globaler Umkehrbarkeit reden, ohne die Bereiche zu nennen, denn man kennt sie ja implizit. Beachte, dass eine Funktion \(f\) ja immer einen Definitions- und Wertebereich hat (Mengentheoretisch ist \(f\) ja nur eine Kurzschreibweise für eine gewisse Teilmenge eines kartesischen Produkts). Und über diese Bereich kann ich sprechen, ohne sie explizit anzugeben. Eine Umkehrfunktion wäre dann nach meiner Definition eine Funktion \(g: codom(f) \to dom(f) \) mit \( f \circ g = id_{ codom(f) } \) und \( g \circ f = id_{ dom(f) } \).
Dass in deinem Umfeld deine Definition Konsens war, überrascht mich ehrlich gesagt. Würdest du mir vielleicht verraten, in welchem Bereich du arbeitest bzw. gearbeitet hast? ─ 42 03.06.2020 um 16:30
Nun zur Antwort: Man kann sehr wohl von globaler Umkehrbarkeit reden, ohne die Bereiche zu nennen, denn man kennt sie ja implizit. Beachte, dass eine Funktion \(f\) ja immer einen Definitions- und Wertebereich hat (Mengentheoretisch ist \(f\) ja nur eine Kurzschreibweise für eine gewisse Teilmenge eines kartesischen Produkts). Und über diese Bereich kann ich sprechen, ohne sie explizit anzugeben. Eine Umkehrfunktion wäre dann nach meiner Definition eine Funktion \(g: codom(f) \to dom(f) \) mit \( f \circ g = id_{ codom(f) } \) und \( g \circ f = id_{ dom(f) } \).
Dass in deinem Umfeld deine Definition Konsens war, überrascht mich ehrlich gesagt. Würdest du mir vielleicht verraten, in welchem Bereich du arbeitest bzw. gearbeitet hast? ─ 42 03.06.2020 um 16:30
Nach deinem Profil bist du eher im anwendungsbezogenen Teil der Mathematik tätig. Dann wundert mich doch nicht mehr, dass deine Definition Konsens war. Deine Definition ist natürlich naheliegender, wenn man beispielsweise über Kartenwechsel bei Mannigfaltigkeiten spricht oder ähnliche Dinge in der Analysis. Und dann ist mein Einwand mit der Kategorientheorie wahrscheinlich auch hinfällig.
Für algebraische Definitionen ist es aber oft einfacher, meine Definition zu wählen. Wenn man nämlich bei Verkettungen von Funktionen echte Teilmengen zulässt, dann bekommt man in der Kategorientheorie Schwierigkeiten, wenn man über verkettbare Morphismen spricht. Dann würde die Definition von Verkettung in Kategorien abweichen von der Definition von Verkettung von Funktionen. Und eigentlich will man ja gerade eine Analogie dieser Begriffe haben. ─ 42 03.06.2020 um 16:57
Für algebraische Definitionen ist es aber oft einfacher, meine Definition zu wählen. Wenn man nämlich bei Verkettungen von Funktionen echte Teilmengen zulässt, dann bekommt man in der Kategorientheorie Schwierigkeiten, wenn man über verkettbare Morphismen spricht. Dann würde die Definition von Verkettung in Kategorien abweichen von der Definition von Verkettung von Funktionen. Und eigentlich will man ja gerade eine Analogie dieser Begriffe haben. ─ 42 03.06.2020 um 16:57
Haha, und ich habe einfach nur gedacht, dass ich deine Antwort nicht so stehen lassen kann. Hätte auch nicht gedacht, dass daraus eine Diskussion wird... Ich denke, unterm Strich kann man festhalten, dass die algebraisch konsistente Definition meine Definition ist. Und wenn man sich keine Sorgen um die abstrakte Algebra machen muss und sich das Leben in der Analysis einfacher machen will, dann ist die sinnvolle Definition deine Definition. Und damit noch mal eine Entschuldigung an die Fragestellerin für das Zuspamen und ein Danke an dich für die nette Diskussion :) Macht`s gut!
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42
03.06.2020 um 17:17
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Du kannst sozusagen alles in deine Funktion g(x) einsetzen aus den reellen Zaheln und alles rausbekommen aus den reellen Zahlen. ─ kallemann 03.06.2020 um 09:20