Funktionsbeweis

Aufrufe: 847     Aktiv: 10.06.2021 um 09:37

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Sei f : [0, ∞) → R stetig, und sei f(0) = 0. Ferner sei f differenzierbar, und f´ sei monoton wachsend.
Beweisen Sie, dass g : (0, ∞) → R, g(x) = f(x)/x monoton wachsend ist.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
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Eine differenzierbare Funktion ist genau dann monoton wachsend, wenn die Ableitung $\geq0$ ist. $g$ ist als Quotient differenzierbarer Funktionen, wobei der Nenner nicht verschwindet, differenzierbar mit $$g'(x)=\frac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}$$ Da der Nenner sowieso immer positiv ist, müssen wir zeigen, dass \(h(x):=x\cdot f'(x)-f(x)\geq 0\) ist für alle \(x\in(0,\infty)\). Für $x=0$ gilt die Ungleichung. Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass $h$ monoton steigt, dann sind wir fertig, denn wann immer $x>0$, ist dann auch $h(x)\geq h(0)=0$, was wir ja zeigen wollten. Um zu zeigen, dass $h$ monoton steigt, berechne wieder die Ableitung und überprüfe, ob die stets nichtnegativ ist.
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