Indem du es auf den gemeinsamen Nenner bringst.

Du musst ein von \(\varepsilon\) abhängiges \(N(\varepsilon)\) finden und es geeignet nach \(\varepsilon\) abschätzen. Die Brüche hasz du schon richtig zusammen geführt. Jetzt nur noch gut abschätzen. Z.B. so:

Sei \(\varepsilon>0\) beliebig gegeben. Dann gilt für alle \(n\geq N(\varepsilon)\) mit \(N(\varepsilon)>\dfrac{9}{25\varepsilon}\):

\(\left|\dfrac{4n+1}{5n-1} -\dfrac{4}{5}\right| =\left|\dfrac{5\cdot (4n+1)-4\cdot (5n-1)}{5\cdot (5n-1)}\right| =\left|\dfrac{9}{25n-5}\right| < \left|\dfrac{9}{25n}\right| \leq \left|\dfrac{9}{25N(\varepsilon)}\right| <\left|\dfrac{9}{25} \cdot \dfrac{25\varepsilon}{9}\right|=|\varepsilon|=\varepsilon\)

Somit gilt \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{4n+1}{5n-1}=\dfrac{4}{5}\).

Der Gedanke ist, den Term innerhalb des Betrages soweit abzuschätzen, dass als erstes die Bedingung \(n\geq N(\varepsilon)\) (also \(\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{N(\varepsilon)}\)) verwendet werden kann. Dann schaust du welchen Term für \(N(\varepsilon\) du in Abhängigkeit von \(\varepsilon\) wählen musst damit es sich "perfekt" auf \(\varepsilon\) am Ende abschätzen lässt. (also z.B. von \(\dfrac{1}{N(\varepsilon)}\) kommst du mit der Bedingung \(N(\varepsilon)>\dfrac{1}{\varepsilon}\) ideal zu \(\varepsilon\). Die \(\dfrac{9}{25}\) brauchst werden lediglich zur Eleminierung des Faktors benötigt). Wichtig ist, dass der letzte Schritt der Abschätzung vor dem Erreichen von \(\varepsilon\) wegen der Konvergenzdefinition immer \(<\) ist. Dies erreicht du immer mit der entsprechenden Wahl von \(N(\varepsilon)> .....\). Dabei gibt es kein "richtige" und keine "falsche" Wahl. Hauptsache deine Abschätzung geht am Ende auf.

Hoffe das hilft dir weiter.