Für die Stetigkeit muss \(\lim_{x\to0}f(x)\) existieren. Die Intuition ist, dass \(f\) aus zwei Teilgraphen besteht, nämlich \(x\mapsto 2x\) für \(x\in\mathbb Q\) und \(x\mapsto x\) für \(x\notin\mathbb Q\), die sich in \((0|0)\) schneiden, sodass der Limes \(0\) sein sollte. Aber das ist natürlich kein Beweis. Den Beweis kannst du z.B. ganz klassisch mit \(\varepsilon\)-\(\delta\) durchführen: Sei \(\varepsilon>0\), wähle \(\delta:=\frac12\varepsilon\), sei \(y\in\mathbb R\) mit \(|y|\leq\delta\). Unterscheide, ob \(y\in\mathbb Q\) oder nicht und zeige jeweils, dass \(|f(y)|<\varepsilon\).

Für die Differenzierbarkeit muss \(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\) existieren. Die Inuition ist, dass dieser Grenzwert für \(x\in\mathbb Q\) konstant \(2\) und \(1\) für \(x\notin\mathbb Q\) ist, und der Limes deshalb nicht existiert. Formal kann man argumentieren, indem man zwei Folgen \((x_n)_{n\in\mathbb N},(y_n)_{n\in\mathbb N}\) mit \(x_n\xrightarrow{n\to\infty}0\) und \(y_n\xrightarrow{n\to\infty}0\) angibt, sodass \(\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{x_n}\neq\lim_{n\to\infty}\frac{f(y_n)}{y_n}\) gilt; denn wenn der Grenzwert existierte, dann müssten beide Grenzwerte gleich sein.