Koordinaten auf Einheitskugel bestimmen

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Hallo zusammen, Ich habe mir einfach mal so ein paar Gedanken gemacht, aber komme grade nicht auf eine ordentliche Herleitung und ein Ergebnis. Sei im Dreidimensionalen ein Vektor (a,b,c) gegeben. Wie berechne ich den Schnittpunkt dieses Vektors mit der Einheitskugel aus? An sich bräuchte ich das nur für a,b,c > 0 , aber ich schätze einmal das macht keinen Unterschied für die Herleitung. Das Ganze für das Zweidimensionale hatte ich mir selbst angeschaut und hinbekommen mit der Steigung, Winkeln, Sinus und Cosinus aber hier weiss ich grade nicht weiter. Und noch einen Schritt weiter gedacht: könnte man das auch verallgemeinern auf n Dimensionen? Oder macht das keinen Sinn? Ich hoffe, ihr könnt mir hier helfen und das erklären. Vielen Dank schon einmal!!
gefragt 4 Monate, 3 Wochen her
anonym
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Hier ihr beiden,

Danke für Eure schnelle Antwort!!

Ich habe beide Antworten verstanden, aber eine Frage habe ich noch:

Im Grunde hat „1+2=3“ genau die Formel für den Spezialfall n=3 beschrieben, und zwar zu 100% so wie „aufjedebewertungeinschnaps“ es beschrieben hat, oder? Denn wenn man die Anfangsformel nach p umstellt, bekommt man genau p = 1 / sqrt(a^2+b^2c^2) = 1/ ||z||
  ─   anonym 4 Monate, 3 Wochen her
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Moin anonym.

Die Einheitskugel mit Mittelpunkt im Ursprung kannst du im Dreidimensionalen folgendermaßen darstellen:

\(x^2+y^2+z^2=1\),      \(x,y,z\) kannst du je nach Notation natürlich auch mit \(x_1,x_2,x_3\) ersetzen.

Jetzt kannst du ein Vielfaches \(p\) deines Vektors einsetzen, da der Schnittpunkt ja meistens nicht bei exakt einer Länge des Vektors liegt.

\((p\cdot a)^2+(p\cdot b)^2+(p\cdot c)^2=1\)

Wenn du jetzt ein bisschen umformst siehst du, dass der Schnittpunkt \(S\) zwischen deinem Vektor \(\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}\) und dem Einheitskreis immer bei \( \dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot \begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}\) liegt. Das funktioniert aber nur solange der Vektor Betragsmäßig größer als \(1\) ist. Ansonsten berechnest du so den Schnittpunkt der Kugel mit dem auf \(1\) verlängertem Vektor.

Ob sich das auf n Dimensionen verallgemeinern lässt, kann ich dir nicht endgültig sagen. Ich vermute aber, dass das irgendwie funktioniert, weil man hier ja prinzipiell mit Normen, etc. rechnet, welche du dir ja auf n Dimensionen definieren kannst.

 

Grüße

geantwortet 4 Monate, 3 Wochen her
1+2=3
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EDIT: 1+2=3's beitrag ist intuitiver für den dreidimensionalen fall, ich verallgemeinere dass dann hier auf den n dimensionalen fall

was du wissen möchtest ist, wie man für gegebene dimension \(n\) und gegebenen vektor \(x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0 \) den schnittpunkt von \(span(x)\) mit der einheitskugel ausrechnen kann.

(du schreibst zwar vektor aber meinst den spann - ein vektor ist nur ein punkt und die 'dazugehörige linie' ist ja der spann. sonst würde man auch probleme bekommen wenn \(x\) zu 'klein' wäre bzw dessen norm)

nach definition vom einheitskreis enthält der alle \(z \in \mathbb{R}^n\) mit \( \|z\| = 1\) dementsprechend ist also der schnittpunkt genau \(\alpha \cdot x\) mit \(\|\alpha \cdot x \| = 1\) genau dann wenn \(\alpha = \pm \frac{1}{\|x\|}\)

Hoffe das hilft dir bei deiner frage weiter, sonst frag gerne nochmal nach

geantwortet 4 Monate, 3 Wochen her
aufjedebewertungeinschnaps
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Hier ihr beiden,
Danke für Eure schnelle Antwort!!
Ich habe beide Antworten verstanden, aber eine Frage habe ich noch:
Im Grunde hat „1+2=3“ genau die Formel für den Spezialfall n=3 beschrieben, und zwar zu 100% so wie „aufjedebewertungeinschnaps“ es beschrieben hat, oder? Denn wenn man die Anfangsformel nach p umstellt, bekommt man genau p = 1 / sqrt(a^2+b^2c^2) = 1/ ||z||
  ─   anonym 4 Monate, 3 Wochen her

Ja, der gesuchte Punkt ist allgemein (im R^n) stets \(\frac1{\|z\|}\,z\).
Es ist gut, dass hier nochmal darauf hingewiesen wurde: Man kann keinen Vektor mit was auch immer schneiden. Hier ging es um den span des Vektors, also die Gerade durch den Nullpunkt, die diesen Vektor als Richtungsvektor hat. Ein Vektor ist aber auch kein Punkt. Dem Neuling fällt das schwer zu unterscheiden, weil beides als lange senkrechte Klammer notiert wird. Ein Vektor ist eine gerichtete Größe, die man sich am besten wie in der Physik als Kraft vorstellen kann. Ein Vektor hat keinen Anfangs- und Endpunkt. Die Unterscheidung zu Punkten ist wichtig, wenn man aus Punkten mithilfe von Vektoren z.B. ein Parallelogramm aufbauen will. Dann werden aber auch keine Punkte addiert, sondern Ortsvektoren von Punkten und Richtungsvektoren.
  ─   mikn 4 Monate, 3 Wochen her
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