Moin anonym.

Die Einheitskugel mit Mittelpunkt im Ursprung kannst du im Dreidimensionalen folgendermaßen darstellen:

\(x^2+y^2+z^2=1\),      \(x,y,z\) kannst du je nach Notation natürlich auch mit \(x_1,x_2,x_3\) ersetzen.

Jetzt kannst du ein Vielfaches \(p\) deines Vektors einsetzen, da der Schnittpunkt ja meistens nicht bei exakt einer Länge des Vektors liegt.

\((p\cdot a)^2+(p\cdot b)^2+(p\cdot c)^2=1\)

Wenn du jetzt ein bisschen umformst siehst du, dass der Schnittpunkt \(S\) zwischen deinem Vektor \(\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}\) und dem Einheitskreis immer bei \( \dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot \begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}\) liegt. Das funktioniert aber nur solange der Vektor Betragsmäßig größer als \(1\) ist. Ansonsten berechnest du so den Schnittpunkt der Kugel mit dem auf \(1\) verlängertem Vektor.

Ob sich das auf n Dimensionen verallgemeinern lässt, kann ich dir nicht endgültig sagen. Ich vermute aber, dass das irgendwie funktioniert, weil man hier ja prinzipiell mit Normen, etc. rechnet, welche du dir ja auf n Dimensionen definieren kannst.

Grüße

EDIT: 1+2=3's beitrag ist intuitiver für den dreidimensionalen fall, ich verallgemeinere dass dann hier auf den n dimensionalen fall

was du wissen möchtest ist, wie man für gegebene dimension \(n\) und gegebenen vektor \(x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0 \) den schnittpunkt von \(span(x)\) mit der einheitskugel ausrechnen kann.

(du schreibst zwar vektor aber meinst den spann - ein vektor ist nur ein punkt und die 'dazugehörige linie' ist ja der spann. sonst würde man auch probleme bekommen wenn \(x\) zu 'klein' wäre bzw dessen norm)

nach definition vom einheitskreis enthält der alle \(z \in \mathbb{R}^n\) mit \( \|z\| = 1\) dementsprechend ist also der schnittpunkt genau \(\alpha \cdot x\) mit \(\|\alpha \cdot x \| = 1\) genau dann wenn \(\alpha = \pm \frac{1}{\|x\|}\) . 

Hoffe das hilft dir bei deiner frage weiter, sonst frag gerne nochmal nach