Vektorgeometrie

Aufrufe: 848     Aktiv: 29.06.2019 um 10:04
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|a*b|^2 = |a|^2 * |b|^2 - (a*b)^2

 

hilfestellung 

sin^2 x + cos ^2x = 1

 

wie kommt man da drauf 😅

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Sollen a und b Vektoren sein?   ─   maccheroni_konstante 26.06.2019 um 17:45
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Ja , wusste nur nicht wie ich die Pfeile mit meinem Handy setzten kann. 😅

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Und das * soll eine Skalarmultiplikation darstellen?   ─   maccheroni_konstante 26.06.2019 um 18:10

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Sorry nochmal 

 

 

(a X b ) ^2 = | a|^2 * |b|^2 - ( a*b )^2 

 

A und b sind Vektoren , in Worten steht da Vektor a (Kreuzprodukt) Vektor b , hoch zwei sind gleich Vektor a in Betrag ^2 mal Betrag vektor b^2 minus Vektor a mal Vektor b hoch zwei 

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Schade, die Formel hast du wohl falsch interpretiert.
Es ist nicht das Quadrat des Vektorprodukts, sondern das Skalarprodukt beider Vektorprodukte. Siehe hierzu Lagrange-Identität. https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Lagrange-Identit%C3%A4t   ─   maccheroni_konstante 26.06.2019 um 19:18

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Hmm und wie Beweise ich dann das sin^2 + cos^2 = 1 ist ? 

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Versuchs mal mit dem Satz des Pythagoras.

Grüße Christian   ─   christian_strack 27.06.2019 um 12:10
Ich komm nicht drauf :/ , Vill übersehe ich es auch einfach   ─   boiken k 27.06.2019 um 15:50
Zum Satz des Pythagoras:
\( a^2 + b^2 = c^2 \ \vert : c^2 \\ \frac {a^2} {c^2} + \frac {b^2} {c^2} = 1 \)
Nun guck dir mal die Definiton des Sinus und Kosinus an.

Grüße Christian   ─   christian_strack 27.06.2019 um 21:45
Habe drunter meine Lösung gepostet , wäre die so richtig ?   ─   boiken k 29.06.2019 um 09:08
Hallo,

ja die Lösung ist soweit richtig, nur als du den Ausdruck \( \vert \vec{a} \times \vec{b} \vert ^2 \) umformst vergisst du das Quadrat hinzuschreiben. (2te Zeile)
Formst aber dennoch weiter richtig um.
Geh die Aufagbe nochmal durch und pack bei jedem \( \vert \vec{a} \vert \) und \( \vert \vec{b} \vert \) noch ein Quadrat dran. Dann stimmt es auch komplett.

Grüße Christian   ─   christian_strack 29.06.2019 um 10:04

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wäre die so richtig ?

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Hallo,

du hast es bis auf ein paar vergessene Quadrate beim Aufschreiben richtig gemacht, aber ich würde es noch als Gleichungskette in dieser Form aufschreiben:

$$\Bigl(|\vec{a}\times\vec{b}|\Bigr)^2=\Bigl(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\theta)\Bigr)^2=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2\cdot\sin^2(\theta)=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2\cdot\Bigl(1-\cos^2(\theta)\Bigr)$$

$$=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2\cdot\cos^2(\theta)=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2-\Bigl(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\theta)\Bigr)^2$$

$$=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2$$

 

Dann hast du die Gleichung ohne Äquivalenzumformungen, das ist meistens schöner! :)

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