Lotfußpunkt bestimmen

Aufrufe: 41     Aktiv: 12.05.2021 um 16:05

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Ich versuche gerade, einen Lotfußpunkt von einem Punkt r1 zur Ebene E im R4 zu bestimmen und habe zu meiner Ebene auch schon einen Normalenvektor n gefunden, der zu beiden Richtungsvektoren senkrecht ist. Jedoch komme ich auf keinen Schnittpunkt, wenn ich r1 + n = E mittels Gaußverfahren berechne. Woran liegt das und wie komme ich sonst auf meinen Lotfußpunkt?

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Was ist im \(R^4\) eine Ebene? Etwa eine Hyperebene der Dimension 3 oder ein Raum der Dimension 2?   ─   gerdware 12.05.2021 um 16:05

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In vier Dimensionen brauchst du nicht eine Lotgerade, sondern eine Lotebene. Es gibt zwei linear unabhängige Vektoren \(n_1,n_2\), die senkrecht auf der Ebene stehen, damit kannst du die Lotebene \(r_1+\mathbb Rn_1+\mathbb Rn_2\) aufstellen. Diese kannst du jetzt mit deiner ursprünglichen Ebene schneiden und du solltest einen Punkt erhalten.
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Ich habe von der Ebene mit den Richtungsvektoren [1 1 1 0] und [0 1 -1 1] den Normalenvektor [1 0 -1 -1] herausbekommen, da dessen Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren ja 0 ist. Aber wie komme ich dann auf den zweiten? Mit rumprobieren?   ─   turborakete0411 12.05.2021 um 15:42

Rumprobieren ist eine Möglichkeit. Die andere ist, das orthogonale Komplement zu bestimmen, also die \(x\in\mathbb R^4\) mit \(x\cdot(1,1,1,0)=x\cdot(0,1,-1,1)=0\). Schreibst du \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\), ergibt das ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und vier Variablen, der Lösungsraum hat also Dimension 2.   ─   stal 12.05.2021 um 15:57

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