Das ist natürlich ein sehr umfangreiches Thema, aber ich versuch mal, einen Überblick zu geben. Die Ableitung einer Funktion soll ein Maß für die Steigung der Funktion, für die Geschwindigkeit der Veränderung des Funktionswertes sein. In einem Intervall \([x,y]\) ist die Durchschnittsänderung \(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\). Das kennst du z.B. sicher aus der Physik, die Geschwindigkeit ist zurückgelegter Weg durch zurückgelegte Zeit, \(\frac{\Delta x}{\Delta t}\). Graphisch gesehen ist diese Durchschnittsänderung die Steigung der Geraden durch \((x|f(x))\) und \((y|f(y))\).

Will man jetzt die Ableitung, d.h. die momentane Änderungsrate, dann lässt man y immer näher an x wandern. Die Sekante durch x und y wird dann zur Tangente am Graphen im Punkt x. Daher kommt in der Formel der Limes.

Zur Berechnung erst mal eine erfreuliche Nachricht: Du wirst in den nächsten Wochen einfache Regeln kennenlernen, wie man bekannte Funktionen ableitet und schon bald nie wieder mit dieser Definition arbeiten müssen. 

Falls du es jetzt aber noch ein paar mal machen musst, hier noch ein illustrierendes Beispiel:

\(f(x)=x^2\). Dann ist \(f'(x)=\lim_{y\to x}\frac{y^2-x^2}{y-x}\). Wir müssen irgendwie den Nenner loswerden, dann können wir einfach x statt y schreiben und haben unsere Ableitung. Das können wir momentan noch nicht, weil wir dann durch 0 teilen würden. Nutzen wir im Zähler die dritte binomische Formel, erhalten wir

\(f'(x)=\lim_{y\to x}\frac{(x+y)(x-y)}{y-x}=\lim_{y\to x}x+y=2x.\)