Puh, ziemlich viele Fragen. Dann versuch ichs mal:

a) Die Definitionslücke wird ja behoben und die Funktion kann stetig fortgesetzt werden. Beim Zeichnen des Graphen ist dann keine Asymptote mehr da.

b) Durch hebbare Lücken kann der Definitionsbereich um diese Stelle erweitert werden. Man muss also stetig hebbare Lücken nicht zwangsläufig aus dem Definitionsbereich nehmen. 

c) Das hängt davon ab, welchen Wert die Funktion nach dem Kürzen annimmt. Der Wert kann natürlich 0 sein und somit liegt dort eine Nullstelle vor, zum Beispiel bei der Funktion $f(x)=\frac{(x-1)^2}{x-1}$ ist an der hebbaren Lücken $x=1$ der Funktionswert $0$, da sich nach kürzen $f(x)=x-1$ ergibt. 

d) Wenn es von der Aufgabe verlangt wird. Bei Funktionsuntersuchungen gehört das allerdings immer dazu, da man dann auf den Verlauf des Graphen schließen kann. Allerdings macht das nur bei Polstellen Sinn. Bei hebbaren Lücken setzt man den Wert erst nach dem Kürzen ein. Andernfalls hat man $\frac{0}{0}$, was nicht definiert ist. 

e) Ja, an der Stelle $x=1$ ist dann eine Polstelle, da sich die Lücke nicht beheben lässt. Die Funktion hat ursprünglich eine Polstelle zweiter Ordnung, da der Linearfaktor zweimal im Nenner vorkommt. Mit Hilfe des Zählers lässt sich aber nur ein Faktor kürzen, so dass man nach dem Kürzen noch eine Polstelle erster Ordnung hat. 

f) Eine gebrochenrationale Funktion muss in der Form $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ vorliegen, um Zähler- und Nennergrad bestimmen zu können und die Funktion auf waagerechte Asymptoten zu untersuchen. 

g) Das ist gerade die Definition einer Asymptote. Es kann aber natürlich vorkommen, dass der Funktionsgraph entlang der Asymptote hin- und her pendelt, etwa bei Sinusfunktionen kommt das vor (waagerechte Asymptote). Es geht hier natürlich immer auch um eine Grenzwertbetrachtung, was nicht heißt, dass die Asymptote nicht auch irgendwo geschnitten werden kann. 

Ich hoffe, die Fragen konnten soweit geklärt werden. Falls etwas unklar ist, schreib einen Kommentar.