Bilinearformen und Definitheit

Aufrufe: 46     Aktiv: 21.05.2021 um 20:47

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Wir kommen bei folgender Aufgabe nicht wirklich weiter:
Zu welchen Kombinationen der fünf Eigenschaften positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit, negativ semidefinit und indefinit gibt es jeweils eine Bilinearform \(F:\ {\mathbb{Q}(\sqrt{6})}^3 \times {\mathbb{Q}(\sqrt{6})}^3 \longrightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{6})\), sodass F eine Eigenschaft bezüglich der Ordnung \(P_1\) und die andere bezüglich der Ordnung \(P_2\) hat? Hierbei sind \(P_1\) und \(P_2\) folgend definiert:
\(P_1:=\{a+b \in \mathbb{Q}(\sqrt{6})\ |\ a,b \in \mathbb{Q}, \ a+b\sqrt{6} \in \mathbb{R_{>0}} \} \) und \(P_2:=\{a+b \in \mathbb{Q}(\sqrt{6})\ |\ a,b \in \mathbb{Q}, \ a-b\sqrt{6} \in \mathbb{R_{>0}} \} \).

Auf einem anderen Übungsblatt haben wir bereits gezeigt, dass \(P_1\) und \(P_2\) Ordnungen von \(\mathbb{Q}(\sqrt6)\) sind. Wir sind jetzt erstmal davon ausgegangen, dass es insgesamt 25 Fälle geben müsste. Dabei konnten wir auch schon die Existenz von manchen Fällen zeigen. Beispielsweise ist das Standardskalarprodukt bezüglich \(P_1\) und \(P_2\) positiv definit. Da positiv definit bereits positiv semidefinit einschließt, haben wir diesen Fall auch schon mit dem Standardskalarprodukt abgehandelt. Außerdem erhalten wir bezüglich beider Ordnungen negativ definite (und damit wieder auch negativ semidefinite) Bilinearformen, wenn wir als Bilinearform das Standardskalarprodukt wählen und dies mit Minus Eins multiplizieren. Dann haben wir uns überlegt, dass es keine Bilinearform geben kann bezüglich der \(P_1\) positiv definit und \(P_2\) negativ definit sein kann, bzw. andersherum. Das haben wir so begründet, dass es Elemente x gibt, für die gilt: \(x \in P_1 \wedge x \in P_2\). Da aber bspw. positiv definit bzgl. \(P_1\) gerade so definiert ist, dass der Funktionswert größer als Null ist für alle Vektoren aus \(P_1\), kann es keine Vektoren aus \(P_1\) geben, für die der Funktionswert kleiner als Null ist, dies gilt insbesondere für die  Vektoren aus dem Schnitt der Ordnungen. Daher kann dann eine Bilinearform nicht mehr negativ definit bezüglich \(P_2\) sein. Weiterhin haben wir auch eine Bilinearform gefunden, die bzgl. beider Ordnungen indefinit ist.

Bei den anderen Fällen (z.B. positiv definit und indefinit) kommen wir leider nicht weiter.
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Student, Punkte: 44

 

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