Wie müsste ich bei der Bearbeitung solcher Aufgaben vorgehen, um im Falle einer Klausur keine Punkte zu verlieren?

Aufrufe: 815     Aktiv: 15.11.2020 um 23:20
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Die Anleitung, in welcher Reihenfolge du die Implikationen zeigen kannst, steht ja drunter. Mengen(un-)gleichungen beweist Du am Besten, indem Du die Elemente betrachtest. Z.B. für (i)\(\Rightarrow\)(ii): Angenommen, es gäbe \(x\in \mathcal{M}\cap(\mathcal{X}\setminus \mathcal{N})\).  Es folgt \(x\in \mathcal{M}\) und \(x\in\mathcal{X}\setminus\mathcal{N}\), also mit (i): \(x\in \mathcal{N}\) und \(x\in\mathcal{X}\setminus\mathcal{N}\).  Schließlich folgt hieraus \(x\in \mathcal{N}\) und \(x\notin\mathcal{N}\). Widerspruch! Also kann es kein Element in \(\mathcal{M}\cap(\mathcal{X}\setminus \mathcal{N})\) geben, d.h. \(\mathcal{M}\cap(\mathcal{X}\setminus \mathcal{N})=\emptyset\).  Damit ist diese Implikation gezeigt. Versuche jetzt, die anderen analog anzugehen.

Hilft das?

 

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Die Argumentation ist für mich verständlich, jedoch bin ich mir noch etwas unsicher, wie ich das Folgende in einer geeigneten mathematischen Notation überführen muss. Hierzu einmal kurz meine fortführenden Gedankengänge: Es sei x ein festes aber beliebiges x Element von X. Im Falle, dass die Elemente aus X zeitgleich kein Element von M darstellten, kann es nur ein Element darstellen, dass nur in X enthalten ist, da M eine Teilmenge von N darstellt. Dieses folgt daraus, dass bei einer Herausnahme von allen Elementen von M, zugleich alle Elemente aus N herausgenommen werden würden, da N nach Definition eine Obermenge von M darstellt. Hieraus folgt dann, dass es kein x Element von N geben kann, dass sich von X unterscheidet, weswegen auch nach der Vereinigung mit den Elementen aus N nur noch die Elemente von X übrig bleiben würden, die in X enthalten sind, jedoch nicht in N..Das dieser Fall eintretet, impliziert wiederum, dass M eine Untermenge von N darstellen muss.

Zunächst erstmal: Ist meine Überlegung soweit nachvollziehbar?
Falls jaa: Wie würdet ihr dieses in eine geeignete mathematische Notation überführen (Die wichtigsten hierfür notwendigen Junktoren und Quantoren sind mir bekannt)?   ─   7minutes 12.11.2020 um 21:40
Das scheint mir nicht richtig, denn Du verwendest "da M eine Teilmenge von N darstellt" in der Mitte. Das ist aber nicht bekannt, Du darfst hier nur (ii) verwenden, (i) ist nicht gegeben. Fange besser so an: Sei \(x\in\mathcal{X}\). Wegen \(\mathcal{X}=\mathcal{N}\cup(\mathcal{X}\setminus\mathcal{N})\) folgt \(x\in\mathcal{N}\) oder \(x\in\mathcal{X}\setminus\mathcal{N}\). Für den zweiten Fall folgt aus (ii): \(\dots\) vervollständige das Argument.   ─   slanack 12.11.2020 um 21:46
Kopiere dabei meine Technik, das mathematisch aufzuschreiben. Es gibt natürlich auch andere Arten, dies zu tun, aber Dein Text wäre mir zu wortreich.   ─   slanack 12.11.2020 um 21:50
Zunächst erstmal: Wie kommst Du auf N U(X∖N)? In der Aufgabe steht jaa N U(X∖M)..

Wenn wir nun deiner Argumentation folgen, wären wir bei xElement von N oder x nicht Element von N-Widerspruch(?)Falls jaa: Folglich kann es kein x Element von N in ii geben. Hieraus folgt ii....

Wie kann ich hiermit nun auf i schlussfolgern?

Dafür müsste ich jaa M in die Argumentation mit einbeziehen
   ─   7minutes 12.11.2020 um 22:27
Für \(x\) gilt doch entweder \(x\in\mathcal{N}\) oder \(x\notin\mathcal{N}\), mit anderen Worten: \(x\in\mathcal{N}\) oder \(x\in\mathcal{X}\setminus\mathcal{N}\); ist das nicht klar? Das ist kein Widerspruch, sondern offensichtlich immer erfüllt. Davon ausgehend zeigst Du jetzt (iii), indem Du zusätzlich noch (ii) benutzt.   ─   slanack 12.11.2020 um 22:41
Daher auch das Fragezeichen. Sehe da grundsätzlich auch keinen Widerspruch, jedoch stellt sich mir die Frage, weshalb in jedem Fall trotzdem nur die Elemente von X verbleiben. Folgt dieses aus X∖N , trotz nachfolgender Vereinigung mit N?! Grundsätzlich: Weshalb hast Du X∖M zu X∖N umgeschrieben?   ─   7minutes 12.11.2020 um 22:49
Da \(\mathcal{N}\subseteq\mathcal{X}\) und \((\mathcal{X}\setminus\mathcal{N})\subseteq\mathcal{X}\) gelten, spielt sich alles in der Grundmenge \(\mathcal{X}\) ab. Mir scheint, Du musst die Definition von \(\mathcal{X}\setminus\mathcal{N}\) nochmal nachsehen und verstehen. Außerdem wollte ich dem Hinweis folgen, also jetzt (ii) \(\Rightarrow\) (iii) und nicht (ii) \(\Rightarrow\) (i) zeigen.   ─   slanack 12.11.2020 um 22:55
Ich habe Dir einen Tipp gegeben, wie Du den Beweis mit einer bekannt richtigen Aussage anfangen kannst. Jetzt bist Du dran. Mit (ii) kommt \(\mathcal{M}\) ins Spiel.   ─   slanack 12.11.2020 um 23:00
Habe N ⊆ x nicht in meine Überlegung einbezogen. Das macht dann natürlich schon Sinn. Die Definition von X ∖N ist mir klar. Bedeutet, dass alle Element von N aus X herausgenommen werden-Oder habe ich da etwas falsch verstanden?! Meine Frage wäre jedoch nochmals, warum hier ohne Erwähnung M durch N ersetzt werden darf? Die Schlussfolgerung auf iii ist mir ohne den Einbezug von M auch noch unklar

   ─   7minutes 12.11.2020 um 23:06
Ok, ich mache den Beweis mal zu ende: Sei \(x\in\mathcal{X}\). Dann gilt \(x\in\mathcal{N}\) oder \(x\in\mathcal{X}\setminus\mathcal{N}\). Tritt letzteres ein, dann folgt aus (ii) \(x\notin\mathcal{M}\), also \(x\in\mathcal{X}\setminus\mathcal{M}\). Insgesamt gilt also \(x\in\mathcal{N}\) oder \(x\in\mathcal{X}\setminus\mathcal{M}\), mit anderen Worten \(x\in(\mathcal{X}\setminus\mathcal{M})\cup \mathcal{N}\), also (iii). Ich darf mit \(\mathcal{X}\setminus\mathcal{N}\) statt mit \(\mathcal{X}\setminus\mathcal{M}\) anfangen, weil ich logisch schlüssig argumentiere. Auf so etwas kommt man durch Herumprobieren oder Intuition.

Probiere jetzt mal den Schluss (iii) \(\Rightarrow\) (i). Ich gehe schlafen.   ─   slanack 12.11.2020 um 23:20
Ausgeschlafen kann ich Dir Deine Frage "Weshalb hast Du \(\mathcal{X}\setminus\mathcal{M}\) zu \(\mathcal{X}\setminus\mathcal{N}\) umgeschrieben?" besser beantworten: Das ergab sich ganz von alleine, als ich (iii) aus (ii) folgern wollte. Für beliebiges \(x\in\mathcal{X}\), welches (ii) erfüllt, möchte ich zeigen, dass \(x\in\mathcal{N}\) oder \(x\in \mathcal{X} \setminus \mathcal{M} \) gilt. Wenn \(x\in \mathcal{N} \) ist, dann bin ich also fertig. Jetzt muss ich noch den Fall \(x\notin \mathcal{N}\) behandeln. Und der Rest ist dann wie oben geschrieben.

Mache Dir selber die Situation Mal mit Mengendiagrammen klar.   ─   slanack 13.11.2020 um 09:45
Komme dort leider trotzdem nicht weiter.Der letzte Schritt fällt mir insgesamt am schwersten iii->i. Da es für mich sowieso nur eine Übung darstellt: Könntest Du für mich das gesagte in der üblichen Quantorenschreibweise mal komplett aufschreiben. Wenn ich erstmal gesehen habe, wie ich an solchen Aufgaben insgesamt rangehen muss, sollte es mir künftig hoffentlich weiterhelfen. Zum jetzigen Zeitpunkt komme ich hier ohne weitere Hilfe jedenfalls nicht mehr weiter   ─   7minutes 14.11.2020 um 20:18
Nach der Argumentation wäre jaa noch zu zeigen, wie Ich auf X komme. Dafür müsste ich dann jaa den Fall zeigen, dass letzteres, also x ist nicht Element von M, eintritt. Meine Frage wäre hier mal wieder, wie ich das geeignet mathematisch aufschreiben müsste. Danach ist mir wie gesagt leider auch noch unklar, wie ich von iii auf i schlussfolgern müsste
   ─   7minutes 14.11.2020 um 20:24
Ich denke, die ersten beiden Schlüsse habe ich ausführlich genug aufgeschrieben. (iii) \(\Rightarrow\) (i) geht so: Sei \(x\in\mathcal{M}\). Dann gilt auch \(x\in \mathcal{X}\), da \(\mathcal{M}\subseteq\mathcal{X}\). Ferner gilt \(x\notin\mathcal{X}\setminus\mathcal{M}\). Wegen (iii) muss also \(x\in\mathcal{N}\) gelten, Da \(x\in\mathcal{M}\) beliebig gewählt war, folgt \(\mathcal{M}\subseteq\mathcal{N}\).   ─   slanack 14.11.2020 um 20:45
Muss ich für iii nicht noch dem Fall der Gleichheit mit X zeigen/beweisen? Daran habe ich mich aufgrund der Oder-Verknüpfung nämlich die ganze Zeit festgehangen   ─   7minutes 14.11.2020 um 20:55
Bin mir nicht ganz sicher, was Du meinst. Beziehst Du Dich auf den Schluss (ii)\(\Rightarrow\)(iii)? Ich habe Dir ja gezeigt, wie man \(\supseteq\) beweist. Vielleicht fehlt Dir \(\subseteq\)? Die Inklusion ist aber trivialerweise richtig, da ja \(\mathcal{N}\subseteq\mathcal{X}\) und \(\mathcal{X}\setminus\mathcal{M}\subseteq \mathcal{X}\) gelten. Es kommen überhaupt keine anderen Elemente als die von \(\mathcal{X}\) ins Spiel.   ─   slanack 15.11.2020 um 19:33
Kann man ii->iii auch so argumentieren?   ─   7minutes 15.11.2020 um 20:15
Kann man für ii-->iii auch so argumentieren? (Siehe unteres Foto vom Beitrag)   ─   7minutes 15.11.2020 um 20:19
In deiner Argumentation geht meiner Meinung nach nicht so wirklich hervor, weshalb die Gleichung in dem Fall mit X gleichgesetzt werden kann   ─   7minutes 15.11.2020 um 20:20
Ja, die Argumentation ist perfekt!   ─   slanack 15.11.2020 um 23:20

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