Abgeschlossene Mengen und Rand

Aufrufe: 614     Aktiv: 02.05.2020 um 18:07

0
Hallo ich bräuchte dringen hilfe bei dieser aufgabe „Sei X=C([0,1]) der Raum der auf [0,1] stetigen Funktionen versehen mit der Metrik d_sup(f,g) = ||f-g||_sup Für f,g element von C([0,1]). Zeigen Sie, dass die Menge A={f elemnt von C([0,1]): f(x) >= 0 für alle x element von [0,1]} Abgeschlossen ist und bestimmen sie denn rand „ Prinzipiell habe ich schon verstanden wann eine menge abgeschlossen ist und bei einfachen beispielen bekomme ich es auch hin denn rand zu bestimmen aber diese aufgabe bekomme ich im moment noch nicht alleine hin wäre über hilfe sehr dankbar.
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 16

 

Warum stellst du die Frage mehrfach?   ─   digamma 02.05.2020 um 17:59
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Du musst zeigen: Wenn `(f_n)_(n in NN)` eine Folge in `A` ist, die gegen ein `f in X` konvergiert, dann ist auch `f in A`.

Also nimmst du an, dass so eine Folge gegeben ist. Da jede gleichmäßig konvergente Funktionenfolge auch punktweise konvergiert, gilt für jedes `x in [0,1]: lim_(x to infty) f_n(x) = f(x)`. Da für alle `n in NN` gilt `f(x) >=0` (und da das Intevall `[0; infty) sub RR` abgeschlossen ist), folgt daraus `f(x) >= 0`. Also ist `f in A`.

Zum Rand: Der Rand besteht aus allen Punkten der abgeschlossen Menge, die keine inneren Punkte sind. Ein Punkt ist innerer Punkt von `A`, wenn es eine (`epsilon`-)Umgebung gibt, die ganz in `A` liegt.

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 

Kannst du das vielleicht noch mal etwas anders versuchen zu erklären verstehe zwar dein ansatz aber irgendwie steige ich da noch nicht so durch   ─   henry_99 02.05.2020 um 18:07

Kommentar schreiben