Zunächst muss man sagen, dass es nicht "die" Stammfunktion von \(f\) gibt, denn wenn \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, dann ist auch \( F+c \) für jede mögliche Konstante \( c \in \mathbb{R} \) eine Stammfunktion von \(f\). Deshalb kann man auch nicht von dem "Funktionswert der Stammfunktion" sprechen.

Wenn ich dich jedoch richtig verstehe, dann zielt deine Frage auf den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ab. Dieser besagt:

Wenn \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) eine stetige Funktion und \( c \in [a,b] \) ist, dann ist die zugehörige Integralfunktion

\( F:[a,b] \to \mathbb{R} \) mit \( F(x) = \int_c^x f(x) \ dx \)

differenzierbar und es ist \( F^\prime = f \).

Für den Beweis des Satzes benötigt man normalerweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung, der in der Schule nicht behandelt wird.

Ich hoffe, das hilft dir weiter :)