Gemeinsame Eigenvektoren von zwei kommutierenden Matrizen

Erste Frage Aufrufe: 209     Aktiv: 22.02.2024 um 14:24

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Ich soll für die Matrizen A und B eine orthonormale Basis aus gemeinsamen Eigenvektoren finden. A und B kommutieren. Sie haben aber nicht die gleichen Eigenvektoren. Ich dachte bei Matrizen die kommutieren, findet man immer gleiche Eigenvektoren oder muss noch eine andere Bedingung erfüllt sein?
Unten sind die Matrizen A und B angegeben, dann der Kommutator [A,B] und die Transformationsmatrizen






Wenn B folgendermaßen definiert ist, dann haben A und B gleiche Eigenvektoren:
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Die beiden Matrizen müssen zusätzlich noch diagonalisierbar sein. Das sind sie aber. Du kannst aber nicht erwarten, dass Du eine diagonalisierst, dann die andere, und dann stimmen die EV-Matrizen überein (überleg mal, warum nicht). Wäre purer Zufall.
Was nötig ist, nennt man simultanes Diagonalisieren, dazu gibt es Algorithmen. Was ist in der Vorlesung dazu gesagt worden?
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Danke für die Antwort.
Die Bedingung für simultanes Diagonalisieren ist, dass die Matrizen kommutieren.
Diese Bedingung erfüllen die Matrizen in dem Beispiel.
Interessant finde ich, dass die Transponierte von B die gleichen Eigenvektoren hat wie A. Aber B nicht die gleichen Eigenvektoren hat wie A.
Dabei kommutieren sowohl A mit B, als auch A mit B-transponiert.
Das kann ich mir nicht erklären.
  ─   user3a3d77 21.02.2024 um 14:54

Nein, kommutieren ist nicht die Bedingung, sondern kommutieren und s.o.
Was heißt "hat die gleiche EVen"? Hast Du meine Antwort oben gelesen und verstanden?
  ─   mikn 21.02.2024 um 15:09

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Soweit ich das weiß haben zwei kommutierende Matrizen nur eine gemeinse ONB aus EV, wenn alle Eigenwerte Multiplizität 1 haben. Wir berechen mit $AB=BA$ nämlich und $(\lambda,v)$ ein EW/EV Paar, dass 
$$AB v= \lambda Bv $$
gilt und falls der Eigenraum Dimension 1 hat, sind $v$ und $Bv$ Vielfache voneinander. 

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Danke für die Antwort.
Tatsächlich ist die Multiplizität aller Eigenwerte nicht 1.
A hat die Eigenwerte: 0, 8, 8
B hat die Eigenwerte: -2, 2, 2
Die geometrische Vielfachheit der entarteten Eigenvektoren ist jeweils 2.
laut Wikipedia müsste man trotzdem gemeinsame Eigenvektoren finden sobald die Matrizen kommutieren:
https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalisierbare_Matrix#Simultane_Diagonalisierung
  ─   user3a3d77 21.02.2024 um 14:48

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Ja, das müsste man mit invarianten Unterräumen sicherlich irgendwie geschickt machen können, aber auswendig weiß ich das auch nicht. Zur Erklärung: Wenn ein Eigenwert wie hier doppelt ist, dann hast du auch 2 Eigenvektoren $v_1,v_2$ und du hast "frei Wahl", welche du in die Matrix einsetzt. Du kannst e.g. auch $v_1$ und $v_1+v_2$ statt einfach nur $v_1$ und $v_2$ wählen. Recherchiere dazu mal und wenn du auf ein weiteres Problem stößt, komm einfach wieder hierher :-)
  ─   crystalmath 21.02.2024 um 15:13

Vielen Dank. Es hat funktioniert, so wie du geschrieben hast. Ich musste die richtige Linearkombination der Eigenvektoren mit gleichen Eigenwert wählen und konnte die Eigenvektoren für A und B finden:
$
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 \\
\sqrt{2} i & \sqrt{2} i & 0\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$
Mein Fehler war, dass ich dachte der Eigenvektor mit nur einfachen Eigenwert von A muss mit dem Eigenvektor mit nur einfachen Eigenwert von B zusammen passen.
Dabei muss der der Eigenvektor mit nur einfachen Eigenwert von A mit der Linearkombination der entarteten Eigenvektoren von B zusammen passen.
  ─   user3a3d77 22.02.2024 um 14:24

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