Ja, Du kannst verschiedene Inhalte der M22 annehmen, denn Matrizen sind nur dann gleich, wenn alle korrespondierenden Elemente gleich sind.

Allerdings solltest Du diese Matrizen nicht M22 nennen. Die beiden verschiedenen Matrizen müssen verschiedene Namen haben, z.B. A und B.
1+1 und 0+2 sind auch nicht verschiedene Elemente in M22, denn 1+1 und 0+2 sind gar keine Elemente von M22.
Dann kann man das z.B. so aufschreiben:
Sei \( A = \left( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \), \(B = \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \). Dann ist \( f(A)=1+1=2 \), \(f(B)=0+2=2\), also ist \(f(A)=f(B)\), aber \(A\not=B\). Also ist f nicht injektiv.

Allerdings: Auch dieser Beweis ist nicht perfekt. Denn nicht jeder Körper enthält eine 2. Man kann sich aber darauf verlassen, dass 0 und 1 in K ist. Die Matrizen A, B musst Du also so wählen, dass sie nur die 0 und die 1 enthalten.

Bei der Surjektivität musst Du für ALLE \(x\in K\) eine Matrix A finden, so dass f(A)=x. Du hast es nur für die 1 gezeigt. Der Beweis sieht dann so aus:
Sei \(x\in K\) beliebig.
Setze \(A=\mbox{...eine geeignete Matrix...}\).
Dann gilt: \(f(A)=x\).
Also ist f surjektiv.