Abbildung Beweis Surjektiv, Bijektiv

Aufrufe: 258     Aktiv: 26.09.2023 um 20:29

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Hallo, 

ich habe eine Frage zur Thematik Beweis, Surjektivität und Injektivität.

Surjektiv = Für jedes y gibt es mindestens ein x Wert.
Injektiv = Für jedes y gibt es höchstens einen x Wert.

Ich soll bei folgender Aufgabe zeigen, dass die Abbildung f: surjektiv bzw. injektiv ist.

Sei K ein Körper. Sei f: M22 (K) → K definiert durch Matrix 22 (a b c d) → a + d für alle (a b c d)
∈ M22 (K)

Ich versuche es wie folgt:

Surjektivität:

Wenn 0 + 1
∈ K dann gilt (0, 1) M22 (K) und es ist 0 + 1 = 1. Die 1 besitzt also ein Urbild in der M22.

Injektivität:
Sei M22 bestehend aus (1 1 1 1) und a+d = 2 und sei M22 bestehend aus (0 1 0 2) und a+d = 2. Dann ist f nicht injektiv, denn es sind 1 + 1 und 0 +2 verschiedene Elemente in M22 für die f: a+d = 2 gilt.
Kann ich hier verschiedene Inhalte der M22 annehmen oder nicht?
Die meisten Beispielaufgaben beziehen sich auf Funktionen bei denen f(x1) = f(x2) gesetzt wird und nach Umformung geschaut wird, ob x1 = x2 rauskommt.
Danke für die Hilfe vorab.
VG
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Ja, Du kannst verschiedene Inhalte der M22 annehmen, denn Matrizen sind nur dann gleich, wenn alle korrespondierenden Elemente gleich sind.

Allerdings solltest Du diese Matrizen nicht M22 nennen. Die beiden verschiedenen Matrizen müssen verschiedene Namen haben, z.B. A und B.
1+1 und 0+2 sind auch nicht verschiedene Elemente in M22, denn 1+1 und 0+2 sind gar keine Elemente von M22.
Dann kann man das z.B. so aufschreiben:
Sei \( A = \left( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \), \(B = \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \). Dann ist \( f(A)=1+1=2 \), \(f(B)=0+2=2\), also ist \(f(A)=f(B)\), aber \(A\not=B\). Also ist f nicht injektiv.

Allerdings: Auch dieser Beweis ist nicht perfekt. Denn nicht jeder Körper enthält eine 2. Man kann sich aber darauf verlassen, dass 0 und 1 in K ist. Die Matrizen A, B musst Du also so wählen, dass sie nur die 0 und die 1 enthalten.

Bei der Surjektivität musst Du für ALLE \(x\in K\) eine Matrix A finden, so dass f(A)=x. Du hast es nur für die 1 gezeigt. Der Beweis sieht dann so aus:
Sei \(x\in K\) beliebig.
Setze \(A=\mbox{...eine geeignete Matrix...}\).
Dann gilt: \(f(A)=x\).
Also ist f surjektiv.
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Danke für die Antwort :)   ─   donkanalie 26.09.2023 um 20:29

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