Allerdings solltest Du diese Matrizen nicht M22 nennen. Die beiden verschiedenen Matrizen müssen verschiedene Namen haben, z.B. A und B.
1+1 und 0+2 sind auch nicht verschiedene Elemente in M22, denn 1+1 und 0+2 sind gar keine Elemente von M22.
Dann kann man das z.B. so aufschreiben:
Sei \( A = \left( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \), \(B = \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \). Dann ist \( f(A)=1+1=2 \), \(f(B)=0+2=2\), also ist \(f(A)=f(B)\), aber \(A\not=B\). Also ist f nicht injektiv.
Allerdings: Auch dieser Beweis ist nicht perfekt. Denn nicht jeder Körper enthält eine 2. Man kann sich aber darauf verlassen, dass 0 und 1 in K ist. Die Matrizen A, B musst Du also so wählen, dass sie nur die 0 und die 1 enthalten.
Bei der Surjektivität musst Du für ALLE \(x\in K\) eine Matrix A finden, so dass f(A)=x. Du hast es nur für die 1 gezeigt. Der Beweis sieht dann so aus:
Sei \(x\in K\) beliebig.
Setze \(A=\mbox{...eine geeignete Matrix...}\).
Dann gilt: \(f(A)=x\).
Also ist f surjektiv.
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