Einen wirklichen Zusammenhang gibt es da nicht.

Der Integrand bzw. die Grenzen bestimmen das "Integrationsverfahren" bzw. ob es sich um uneigentliche Integrale handelt.

Beispiel 1)

"Normale Integrale"

\(F(x)=\int\limits_{a}^bx^2~\text{d}x\)

Dieses Integral lässt sich ohne weiteres integrieren

Beispiel 2)

Integration durch Substitution

\(F(x)=\int\limits_{a}^b x\cdot e^{x^2}~\text{d}x\)

An dieser Stelle kommst du mit den "gängigen" Integrationsregeln nicht wirklich weiter. Daher hilft hier z.B. die Integration durch Substitution

Wir substituieren:

\(u(x)=x^2\Rightarrow \text{d}x=\frac1{2x}~\text{d}u\)

Einsetzen in das ursprüngliche Integral:

\(F(u)=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}\frac{1}{2x}\cdot x\cdot e^{u}~\text{d}u=\frac12\cdot\int\limits_{u(a)}^{u(b)}e^u~\text{d}u\)

Nun hast du durch die geschickte Substitution ein Integral erhalten, welches sich wieder mit den "gängigen" Integrationsregeln berechnen lässt.

Beispiel 3)

Partielle Integration/Produktintegration

Partielle Integration musst du z.B. anwenden, wenn du das Integral nicht durch Substitution wie in Beispiel 2 vereinfachen kannst.

\(F(x)=\int\limits_a^b(2x+1)\cdot e^x~\text{d}x\)

Wendest du nun partielle Integration an:

\(F(x)=\lbrack e^x\cdot(2x+1)\rbrack_a^b-2\cdot\int\limits_a^b e^x~\text{d}x\)

erhälst du auch in diesem Fall wieder ein Integral, welches du mit "gängigen" Integrationsregeln lösen kannst.

Beispiel 4)

Uneigentliches Integral 1. Art (eine der Grenzen ist \(\pm\infty\))

Problem bei diesen Integralen ist, dass \(\infty\) keine Zahl ist die man einsetzen könnte.

Deswegen ersetzt man das \(\infty\) durch eine Variable und lässt diese Variable nachdem man das Integral berechnet hat gegen \(\pm\infty\) laufen.

\(F(x)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}~\text{d}x\)

Wir "formen" um:

\(F(x)=\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int\limits_0^\lambda e^{-x}~\text{d}x=\lim\limits_{\lambda\to\infty}\lbrack -e^{-x}\rbrack_0^\lambda=\lim\limits_{\lambda\to\infty}-e^{-\lambda}+e^0=0+1=1\)

Bei dem uneigentlichen Integral 2. Art verhält es sich genauso, nur dass in diesem Fall der Integrand an einer der Grenzen nicht definiert ist:

z.B.:

\(F(x)=\int\limits_0^1\frac{1}{x^2}~\text{d}x\)

Verfahrensweise ist die gleiche wie beim uneigentlichen Integral 1. Art.

Ich hoffe ich konnte etwas Licht ins Dunkel bringen.

Bei Fragen meld dich gern nochmal.