Hallo,
bei Symmetrien von Funktionen unterscheidet man zwischen Punktsymmetrie und Achsensymmetrie.
Punktsymmetrie besagt, dass man eine Funktion um 180° (eine halbe Drehung) um einen Punkt drehen kann und wieder die selbe Funktion erhält. Für gewöhnlich betrachtet man die Punktsymmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems. Die Formel die diesen Sachzusammenhang beschreibt ist
$$ f(x) = -f(-x) $$
Wenn eine Funktion diese Gleichung erfüllt, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung. Man kann auch die Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt $P(a|b)$ betrachten. Dann muss eine Funktion die Gleichung
$$ f(a+x) - b = b - f(a-x) $$
erfüllen. Ich denke aber wenn ihr mit dem Thema gerade anfangt, wird diese Gleichung nicht wichtig für euch sein. Guck aber am Besten nochmal in eure Unterlagen.
Für Polynome vereinfacht sich die Punktsymmetrie zum Ursprung nochmal. Ein Polynom das nur ungerade Exponenten hat (und dazu zählt auch $x^1 =x$), ist punktsymmetrisch.
Ein Beispiel wäre die Funktion:
$$ f(x) = 2x^5 + 3x $$
Achsensymmetrie besagt, dass man eine Funktion an einer Achse spiegeln kann und wieder die selbe Funktion erhält. Für gewöhnlich betrachtet man die Achsensymmetrie zur y-Achse.
Die Formel die diesen Sachzusammenhang beschreibt ist
$$ f(x) = f(-x) $$
Wenn eine Funktion diese Gleichung erfüllt, ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse. Man kann auch die Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse (parallel zur y-Achse) betrachten. Sei die Achse die Senkrechte im Punkt $x=x_0$, dann muss die Funktion die Gleichung
$$ f(x_0+x) = f(x_0 -x) $$
erfüllen. Auch hier denke ich aber, dass die Achsensymmetrie zur y-Achse ausreicht. Aber wie gesagt, am Besten nochmal nachprüfen.
Für Polynome vereinfacht sich auch die Achsensymmetrie zur y-Achse. Ein Polynom das nur gerade Exponenten hat (und dazu zählt auch $x^0=1$, also der konstante Summand eines Polynoms) ist achsensymmetrisch.
Ein Beispiel wäre die Funktion:
$$ f(x) = x^4 -2x^2 +1 $$
Ein Polynom das gemischte Exponenten hat, wie beispielsweise
$$ f(x) = x^3 +x^2 $$
ist weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch
Soviel zur Symmetrie.
Wenn die x-Werte groß genug werden, dann stellt sich bei einer Funktion irgendwann ein "gleichbleibendes Verhalten" ein. Es strebt immer weiter in eine Richtung. Es ist deshalb interessant zu prüfen, was passiert wenn unser $x$ sehr sehr groß wird. Unendlichkeit bedeutet nichts anderes, als das etwas über alle Maße hinauswächst. Deshalb betrachten wir $\lim\limits_{x\to \pm \infty} $.
Wenn du nun eine sehr sehr große Zahl in ein Polynom einsetzt, dann hat irgendwann nur noch der höchste Exponent einen "merkbaren" Einfluss auf das Verhalten der Funktion. Betrachten wir dafür wieder die Funktion
$$ f(x) = x^3 + x^2 $$
Wenn wir jetzt beispielsweise $x=10^9$ (als eine Milliarde) dort einsetzen, dann ergibt $x^3 = (10^9)^3 = 10^{27}$, also eine Eins mit 27 Nullen. Hingegen ergibt $x^2 = (10^9)^2 = 10^{18}$ zwar auch eine sehr große Zahl (eine Eins mit 18 Nullen) aber im Vergleich zu $10^{27}$ ist das eine mikrige Zahl.
Es reicht deshalb bei Grenzwertbetrachtungen die Variable mit dem größten Exponenten zu betrachten. Dann setzt du dort eine sehr sehr große positive Zahl ein und danach eine sehr sehr große negative Zahl ein und prüfst was dabei herauskommt.
Betrachten wir wieder
$$f(x) = 2x^5 + 3x $$
Wir nehmen das $2x^5$. Wenn wir dort eine riesige positive Zahl einsetzen. erhalten wir eine noch größere positive Zahl.
Wenn wir dort eine riesige negative Zahl einsetzen, erhalten wir wegen dem Exponenten $5$ eine riesige negative Zahl (bei einem gerade Exponenten, würde aus der negativen Zahl eine positive werden). Also folgt
$$ \lim\limits_{x\to \infty} f(x) \to \infty \quad \lim\limits_{x \to -\infty} \to - \infty $$
Grüße Christian
(Twitter)
