Konvergenz von Folgen

Aufrufe: 131     Aktiv: vor 3 Monaten, 1 Woche

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Ich soll die Folge \(a_n= \frac{n}{n^2+1}\) auf konvergenz prüfen. 

Ich habe die Lösung verstehe sie aber nicht ganz.

 

 
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Ich verstehe nicht, wrum nach Archimedischen Axiom \(N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}\) steht.
 
Danke schonmal im Vorraus.
gefragt vor 3 Monaten, 1 Woche
m
maike,
Punkte: 42

 

Das geht viel einfacher. Man braucht nur die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner vergleichen. Schau Dir einmal mein Video Grenzwerte von folgen in der Lernplaylist Folgen und Reihen an.   ─   professorrs, vor 3 Monaten, 1 Woche
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1 Antwort
1

Ist für meinen Geschmack etwas dick aufgetragen, hier Archimedes ins Spiel zu bringen. Man braucht halt, dass es zu einer beliebigen Zahl (hier: 1/eps) eine natürliche Zahl N gibt, so dass für alle n größer N gilt: n>1/eps.

Das garantiert das Axiom, aber normalerweise wird das nicht erwähnt.

Rest des Beweises ist klar?

geantwortet vor 3 Monaten, 1 Woche
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 8.18K
 

Nicht so richtig. Also ich verstehe,dass ich \(\epsilon > 0\) wähle, da ich behaupte, dass 0 der Grenzwert ist und mit \eps ist die Umgebung gemeint, wo die meißten Folgenglieder sich drin befinden.

Und ab da scheitere ich.

Also ich verstehe nicht, wie man gezeigt hat, dass alle Folgenglieder nach N_\eps in der \eps-Umgebung liegen.
  ─   maike, vor 3 Monaten, 1 Woche

Du hast doch gezeigt, dass für alle n>N_eps gilt: |a_n-0| < eps, das ist doch genau das. a_n liegt in der eps-Umgebung von 0.   ─   mikn, vor 3 Monaten, 1 Woche

Da wurde einfach nur stur die Definition angewendet und abgeschätzt. Was viele Studenten bei diesen Beweisen verwirrt ist, dass das Epsilon gleich zu beginn genannt wird. Dabei ist es eigentlich so, dass man das erst am Ende weiß und Mathematiker, so eitel wie sie sind, es beim Schönschreiben gleich zu Beginn hinklatschen.

Man kommt selten auf Beweise in genau der gleichen Reihenfolge wie sie einem präsentiert werden.
  ─   gardylulz, vor 3 Monaten, 1 Woche
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