Ungleichung von Cauchy und Schwarz

Aufrufe: 48     Aktiv: 10.02.2021 um 19:06

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Ich verstehe - hauptsächlich aus notationellen Gründen - nicht, was genau mit der Cauchy Schwarz Ungleichung gemeint ist =>
|<x,y>| <= ||x|| * ||y||
Das Skalarprodukt ist ja so definiert, das zwei Vektoren komponentenweise multipliziert werden
z.B. (5,2) (3,4) = 15 + 8 und die Länge wäre ja z.B. in dem Fall (sqrt(5^(2)+2^(2)) * sqrt(3^(2) + 4^(2)))

Probleme:
Wäre, wenn es stimmt, soweit logisch nur leider hat der Professor dafür einen Beweis angestellt, der mir leider nicht wirklich logisch erscheint:
Beweis
||x + y||² <= (||x|| + ||y||)² (wie das im Zusammenhang steht zur Ungleichung weiß ich nicht (?)
Außerdem ist die Länge definiert als ||x|| = sqrt(x(1)^(2) + ..... + x(n)^(2)) => || x + y || <= ||x|| + ||y|| (Dreiecksungleichung) - was ich notationell (semantisch schon) jedoch überhaupt nicht verstehe (die Länge x,y ist logisch, aber notationell ||x + y|| (müsste ja nach Definition sein (x+y)(1)^(2)+ .... + (x +y)(n)^(2)) man will aber die Hypothenuse ausrechnen... verstehe das momentan überhaupt nicht, wenn ich y als Hypothenuse definiere und x1 x2 als Katheten dann müsst ich ja theoretisch sagen sqrt(||x(1)||^(2) + ||x(2)||^(2))

Bin langsam am Verzweifeln - da dies das einzige Thema ist, dass ich überhaupt nicht verstehe - vielen Dank schon mal :)
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1 Antwort
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Hypothenuse? Katheten? Wir sind hier im R^n, also für \(x,y\in R^n\) gilt:

\(A:=\|x+y\|^2=(x+y,x+y)=x^2+2xy+y^2=\|x\|^2+\|y\|^2+2xy\)
\(B:=(\|x\|+\|y\|)^2=...\) (binomische Formel)

Aus \(A\le B\) folgt \(xy\le \|x\|\|y\|\), das ist fast schon die CS-Ungl.
Wenn man obige Rechnung wiederholt mit \(-y\) anstelle von \(y\), erhält man \(-xy\le\|x\|\|y\|\), zusammen mit dem obigen gibt das die CSU.

Die \(x_i,y_i\) sind Zahlen, nämlich die Komponenten der Vektoren \(x\) bzw. \(y\), und nicht selbst Vektoren.
Mach Dir bei allen(!) Aufgaben erstmal klar, um welche Objekte es in der Aufgabe geht: Vektoren, Zahlen, Funktionen, usw.
Gerade als Informatik-Student!
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Danke 🙂 Ja, darüber steht eben explizit was ||x|| bedeutet nämlich eben die Wurzel von x1^(2) + x2^(2), deswegen war ich hinsichtlich der Notation verwirrt   ─   infomarvin 09.02.2021 um 22:46

Ja, das verwirrt, da sollte besser \(\|x\|=(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2)^\frac12\) stehen.   ─   mikn 09.02.2021 um 23:20

Ja es ist aber so oder so nicht so tragisch :D - verstehe von den restlichen 35 Videos alles zu nahezu 90-100% - Problem ist halt immer (ich weiß nicht wir ihr das alle macht - vielleicht fehlt mir die Intelligenz, das ganze zu merken - bezüglich verstehen (auch wenns hier vielleicht manchmal nicht so wirkt - bin ich bezüglich Verständnis von mir selbst richtiggehend erstaunt - und hätte das am Anfang nie für möglich gehalten (damals im Vorbereitungskurs (vielleicht kannst du dich noch erinnern, da hast du mir relativ viel geholfen)) - aber die Prüfung kommt ja noch :D   ─   infomarvin 10.02.2021 um 19:03

Wie Du selbst merkst, ist das zum großen Teil Übungssache. Man lernt in Mathe/Informatik unheimlich durch Ausprobieren. Auch Sackgassen-Rechenwege tragen dazu bei und sind nicht umsonst. Klingt, als ob Du auf nem guten Weg bist, freut mich.
  ─   mikn 10.02.2021 um 19:06

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