Ringhomomorphismus Beweise

Aufrufe: 160     Aktiv: 13.11.2022 um 19:59
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Hi zusammen.

Auf dem neuen Übungsblatt ist folgende für mich nicht leichte Aufgabe:

Meine Ansätze
1.) würde ich mit folgender Definition zeigen:

nur ist mir das irgendwie komisch, da kein + und kein * defniert ist für das kartesische produkt, sprich; was ist z.B. ([a]n;[a]m)*([b]n;[b]m) oder ([a]n;[a]m)+([b]n;[b]m)? Kann hier jemand weiterhelfen?

Falls man dies denn zeigen muss; reicht das aus oder muss ich noch was mit diesem "wohldefiniert" machen?

 

2.) wäre hier so zusagen phi(Zmn) = 0, oder? Aber wie kann eine Klammer von Äquivalenzklassen null sein? Hat das evtl. irgenwas mit "teilerfremd" und Primzahlen zu tun? Kann dies jemand erklären?

 

3.) Hier müsste ich (glaube ich) die Bijektivität der Abbildung zeigen, oder? Diese Frage erübrigt sich wahrscheinlich, wenn sich die oberen geklärt haben.

 

Wäre super wenn jemand Auskünfte geben kann :-)

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1 Antwort
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1.) Im Produkt Es werden die Operationen komponentenweise gemacht. Bei wohldefiniert du musst zeigen, dass die Definition nicht von Wahl eines Repräsentanten abhängt.

2.) \(\ker \varphi =\{[a]_{mn}\in \mathbb{Z}_{mn} : \varphi([a_{mn}])=([0]_m,[0]_n)\}\)

3.) Genau mit 2) man sieht das es jetzt injektiv ist, surjektiv musst du noch rechnen.

Falls Interesse: du beweist gerade leichte Version von chinesischen Restsatz, er ist gut zu wissen
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Hi mathejean, vielen Dank für deine Antwort.
1.) Meinst du mit komponentenweise so etwas wie; ([a]m ; [a]n) * ([b]m ; [b]n) = ([a]m * [b]m ; [a]n * [b]n)? Dann nehme ich an, dass dies auch für die Addition gilt und 1.) wäre damit schon gezeigt.
Und wegen dem wohldefiniert: reicht es hier in diesem Fall, wenn ich annehme dass [a]mn und [b]mn beliebig aus Zmn sind?
2.) Ich verstehe diese Definition von phi irgendwie nicht.. der Kern kann ja dann nur [0]mn enthalten (gemäss Definition von phi), oder? D.h. z.B. wäre [2]mod6 * [3]mod6 = [0]mod6 enthalten und dann wäre m=3 und n=2, weil m*n=6? Kann sein dass ich auch etwas grundlegendes mit diesen Restklassen nicht verstanden habe... hast du hier eventuell schlüssige Beispiele, die im Kern enthalten sind?   ─   don formidus 13.11.2022 um 11:55
Hallo die Zuordnungsvorschrift hängt von dem Repräsentanten \(a\) von \([a]_{mn}\) ab. Bei wohldefiniert du musst zeigen, dass für \(b \in [a]_{mn}\) gilt \(\varphi([a]_{mn})=\varphi ([b]_{mn})\).

2.) Wenn \(m=2\) und \(n=4\), dann ist \([4]_8\) im Kern   ─   mathejean 13.11.2022 um 12:41
Moin.
2) Ich verstehe es immer noch nicht...
φ([4]8) ist gemäss Def. gleich ([4]2 ; [4]4) und nicht ([0]2 ; [0]4), wo ist mein Knoten?   ─   don formidus 13.11.2022 um 16:21
Es ist \([4]_2=[0]_2\) usw, so man rechnet mod   ─   mathejean 13.11.2022 um 19:59

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