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Die Taylorreihe stimmt. Das Taylorpolynom nur fast. Das Taylorpolynom ist die Summe bis 2. Du hast noch das Restglied dazugeschrieben, das gehört aber nicht zum Polynom.
Es geht also um die Abschätzung nach oben von \(|R|=\frac{3^3}{|1-3\xi|^4}|x-7|^3\). Hier ist \(x\in [-4,10]\) und \(\xi\) zwischen \(x\) und 7, also auch \(\xi\in [-4,10]\) (Zahlengerade!). Nun kann man das nach oben abschätzen, indem man Zähler und Nenner getrennt betrachtet. Helfen tut dabei 1. die Zahlengerade (Skizze, Abstände überlegen) und 2. die Regel "Ein Bruch wird größer, wenn der Zähler größer wird oder der Nenner kleiner".
Fang mal und schau wie weit Du kommst. Wenn's hakt, melde Dich.
Es geht also um die Abschätzung nach oben von \(|R|=\frac{3^3}{|1-3\xi|^4}|x-7|^3\). Hier ist \(x\in [-4,10]\) und \(\xi\) zwischen \(x\) und 7, also auch \(\xi\in [-4,10]\) (Zahlengerade!). Nun kann man das nach oben abschätzen, indem man Zähler und Nenner getrennt betrachtet. Helfen tut dabei 1. die Zahlengerade (Skizze, Abstände überlegen) und 2. die Regel "Ein Bruch wird größer, wenn der Zähler größer wird oder der Nenner kleiner".
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mikn
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Ich habe jetzt versucht deinen Rat zu folgen und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
Ich habe \(x=-4\) und \( \xi = 0\) gewählt. Dabei komme ich auf \( \vert\frac{27*(-11)^3}{1}\vert= 35.937\).
Also ist \(\vert R \vert \le 35.937\) für \(x \in [-4, 10] \) und \( \xi \in [-4, 10]\), oder habe ich etwas falsch gemacht? ─ pekusbill 28.04.2021 um 10:34