0



Ansatz:

Wenn ich richtig gerechnet habe, dann sollte die Taylorreihe folgendermaßen lauten: \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{(-20)^{n+1}} (x - 7)^n \)
und das Taylorpolynom zweiter Ordnung \( \sum_{k=0}^{2} \frac{3^k}{(-20)^{k+1}} (x - 7)^k  + \frac{3^3*(x-7)^3}{(1-3\xi)^4} \).


Frage:
Wie kann ich aber nun den Restglied im Intervall \([-4, 10] \) abschätzen?
gefragt

Punkte: 26

 

Kommentar schreiben

1 Antwort
0
Die Taylorreihe stimmt. Das Taylorpolynom nur fast. Das Taylorpolynom ist die Summe bis 2. Du hast noch das Restglied dazugeschrieben, das gehört aber nicht zum Polynom.
Es geht also um die Abschätzung nach oben von \(|R|=\frac{3^3}{|1-3\xi|^4}|x-7|^3\). Hier ist \(x\in [-4,10]\) und \(\xi\) zwischen \(x\) und 7, also auch \(\xi\in [-4,10]\) (Zahlengerade!). Nun kann man das nach oben abschätzen, indem man Zähler und Nenner getrennt betrachtet. Helfen tut dabei 1. die Zahlengerade (Skizze, Abstände überlegen) und 2. die Regel "Ein Bruch wird größer, wenn der Zähler größer wird oder der Nenner kleiner".
Fang mal und schau wie weit Du kommst. Wenn's hakt, melde Dich.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 13.14K
 

Vielen Dank für die Antwort!
Ich habe jetzt versucht deinen Rat zu folgen und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

Ich habe \(x=-4\) und \( \xi = 0\) gewählt. Dabei komme ich auf \( \vert\frac{27*(-11)^3}{1}\vert= 35.937\).
Also ist \(\vert R \vert \le 35.937\) für \(x \in [-4, 10] \) und \( \xi \in [-4, 10]\), oder habe ich etwas falsch gemacht?
  ─   pekusbill 28.04.2021 um 10:34

Man "wählt" nicht solche Werte, oft geht das auch gar nicht. Jedenfalls muss es sauber begründet werden. Für den Zähler ginge das so:
\(-4\le x\le 10 \iff -11\le x-7\le 3 \Longrightarrow |x-7|\le 11\).
Du hast zwar auch 11 raus, aber achte auf die richtige Denkweise, es geht nicht um geschicktes Einsetzen, sondern um Abschätzen nach oben (d.h. \(|x-7|\le ?\)).
Im Nenner haben wir aber ein Problem, denn der kann im Intervall 0 werden, genau wie die ursprüngliche Funktion. D.h. das Restglied kann beliebig groß werden.
Die Darstellung "f(x)=TP+Restglied" gilt auch nur auf dem Defbereich, also hier gar nicht. D.h. die Aufgabe ist falsch gestellt. Vermutlich Tippfehler und es soll um [4,10] gehen. Das ist ein sinnvolles Intervall, weil symmetrisch um den Entwicklungspunkt 7.
Im Zähler hätten wir dann:
\(4\le x\le 10 \iff -3\le x-7\le 3 \Longrightarrow |x-7|\le 3\). Versuche nach diesem Muster mal den Nenner selbst. Beachte, der Nenner muss nach unten abgeschätzt werden.
  ─   mikn 28.04.2021 um 12:32

Also:

\(4 \le \xi \le 10\)
\(-29 \le 1-3\xi \le -11 \Rightarrow 29 \ge \vert 1- 3 \xi \vert \ge 11 \)
\(\vert R_{n} \vert \le \frac{3^3 * 3^3}{11^4} = \frac{3^6}{11^4} = \frac{729}{14641}\)

Stimmt das jetzt so?
  ─   pekusbill 28.04.2021 um 14:06

Perfekt!   ─   mikn 28.04.2021 um 14:07

Danke vielmals!!! :-)   ─   pekusbill 28.04.2021 um 14:14

Kommentar schreiben