Also die Reflexivität gilt, jedoch hast du das etwas "zu salopp" aufgeschrieben:

1. Du wählst ein Tupel aus deiner Menge M, da M das kartesische Produkt von Z und Z\{0}. Also hast du: \((a,a)\in M\) und nicht \(a\in M\).

2. Du benutzt ja die Eigenschaft, dass \(a\cdot d = b\cdot c\). Also auch für dein gewähltes (a,a): \(a\cdot a = a\cdot a\) => a~a Refelxivität gilt

Deine Symmetrie ist ebenfalls richtig: Schreibe nur am Anfang noch \((a,b),(c,d)\in M\) (Argumentation mit der Multiplikation evtl. noch einen Schritt ausführen)

Kommen wir zur Transitivität: Seinen \((a,b),(c,d),(e,f)\in M\), dann hast du:

1. (a,b)~(c,d) => \(a\cdot d = b\cdot c\)

2. (c,d)~(e,f) => \(c\cdot f = d\cdot e\)

Das \(c\cdot f = d\cdot e\) stellst du nun um: \(c\cdot f = d\cdot e\) <=> \(c=d\cdot e\cdot f^{-1}\) und setzt es in 1. ein, also:

\(a\cdot d = b\cdot c\) <=> \(a\cdot d = b\cdot d\cdot e\cdot f^{-1}\) <=> \(a\cdot d\cdot d^{-1} = b\cdot d\cdot d^{-1}\cdot e\cdot f^{-1}\) <=> \(a = b\cdot e\cdot f^{-1}\) <=> \(a\cdot f = b\cdot e\cdot f^{-1}\cdot f\) <=> \(a\cdot f = b\cdot e\) => (a,b)~(e,f)

Also gilt insgesamt die Transitivität. Also definiert des eine Äquivalenzrelation!

Du musst die 0 in der Aufgabe ausschließen, aufgrund des multiplikativen Inversen :)