Funktionenschar

Aufrufe: 258     Aktiv: 20.03.2023 um 00:25

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Gegeben ist die Funktionenschar f(x) = x^4 - k * x^2 + 8
Wie muss k gewählt werden, damit die Funktion keinen Hochpunkt hat? Welche Koordinaten hat in diesem Falle der Tiefpunkt?

Meine Überlegungen:
    - f '(x) > 0 => für einen Tiefpunkt

f '(x) = 4x^3 - 2kx = x(4x^2 -2k)

f '(x) = 0  -> x1 = 0;  x2 = +-sqrt(k/2)

... ?

Jedoch verstehe ich nun nicht wie ich weiter zur Lösung komme...
Kann mir jemand helfen?

EDIT vom 19.03.2023 um 22:11:

Nun hätte ich die zweite Ableitung an der Stelle x = +- sqrt(k/2) versucht auszuwerten. dies scheint aber nicht der richtige Weg...

In den Lösungen ist folgendes:
k<0   ->   f '' (0) = -2k > 0   ->   T = (0/8)

Verwirrend finde ich "k<0" dies wäre doch für einen Hochpunkt, aber gesucht ist der Tiefpunkt?!
Wieso soll nur die zweite Ableitung an der Stelle 0 ausgewertet werden?
Wieso ist es "-2k > 0" sollte es nicht -2k < 0 sein?!
Und wie komme ich Schliesslich auf den Punkt T?
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Schüler, Punkte: 27

 

Tippfehler? Vermutlich meinst du $f''(x)>0$.   ─   cauchy 19.03.2023 um 20:47

upss, ja klar ;)   ─   mad.maccheroni 19.03.2023 um 21:45

Wenn $k<0$, was ist dann $-2k$? Die Auswertung an der Stelle 0 erfolgt deswegen, weil die anderen Extremstellen für $k<0$ nicht existieren. Mache dir klar, warum.   ─   cauchy 20.03.2023 um 00:25
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2 Antworten
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Zuerst musst du mit $f'(x)=0$ die notwendige Bedingung prüfen. Dort erhältst du dann eine Stelle $x_k$ die von $k$ abhängt. Dann prüfst du, welche Bedingung für $k$ gelten muss, damit die hinreichende Bedingung eines Tiefpunktes erfüllt ist. Lade gerne mal deinen Versuch als Bild hoch. Wenn es dann noch Probleme gibt kann man besser weiterhelfen.
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Du hast bisher nur die Kandidaten für Extrema gesucht (und gefunden). Wg HP oder TP musst Du die zweite Ableitung noch untersuchen. Achte dabei genau auf das $k$.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.21K

 

Den richtigen Weg findet man nicht durch Nachschauen in Lösungen, sondern durch Selbstrechnen. Oben steht, was Du zu tun hast. Und Du wolltest es ja auch machen. Also mach das (und leg die Lösungen weg).   ─   mikn 19.03.2023 um 22:13

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