Rätsel um Quadratzahl

Aufrufe: 885     Aktiv: 13.04.2022 um 20:53
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Hallo, 

ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand einen stringenten, logischen Lösungsweg zu obigem Problem mitteilen könnte. Vielen Dank!

Quelle:
mathematik-olympiade.de

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Punkte: 27

 
Vielen Dank! Ich freue mich sehr!   ─   integrallogarithmus 13.04.2022 um 20:22
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Solche Probleme mit perfect squares kommen meist aus der zahlentheorie und man spielt da ein wenig mit den binomischen Formeln herum. Du suchst $n,m\in \mathbb{N}$, so dass $n^2+58n=m^2$. Hier ist ein Link indem ein ähnliches Beispiel besprochen wird. Es ist zwar auf Englisch aber trotzdem sehr gut verständlich! Als Hinweis für dich zur Lösung ist $58=2\cdot 29$. Das benötigst du wenn du das analog zu dem Beispiel im folgenden Link durchrechnest:
https://m.youtube.com/watch?time_continue=89&v=Q4nMUH65LUM&feature=emb_logo

 

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Lehrer/Professor, Punkte: 9.03K

 
YT ist tatsächlich eine super Quelle für Probleme, die direkt mit Lösung geliefert werden. Empfehlen kann ich vor allem noch @letsthinkcritically   ─   fix 13.04.2022 um 20:53

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Moin,
du willst folgende Gleichung lösen: \(n^2+58n=m^2\), für \(n,m \in \mathbb{N}\). Wenn du jetzt siehst, dass 58 eine gerade Zahl ist, ist das Problem schon so gut wie gelöst. Kannst du eine Zahl finden, die folgendes ermöglichen würde: \(-a^2=m^2-(n+a)^2\)? Der Rest ist simples Faktorisieren.
LG
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Student, Punkte: 3.85K

 
Ja, durch Probieren komme ich auf eine Zahl - nur woher kommt das a?   ─   integrallogarithmus 13.04.2022 um 20:30
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das steht einfach nur als Platzhalter. Auf welche Zahl bist du gekommen? Es handelt sich letztendlich nur um quadratische Ergänzung der einfachsten Art.   ─   fix 13.04.2022 um 20:32
Ich komme auf 392 = n, verstehe allerdings nicht ganz was Sie meinen.   ─   integrallogarithmus 13.04.2022 um 20:36
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wie bist du denn mit probieren auf 392 gekommen? oder hast du das Problem einfach bei WolframAlpha eingegeben? Die Idee ist, wie schon geschrieben, die linke Seite der Gleichung zu faktorisieren, d.h. \(n^2+58n=m^2\) umzuformen, so dass dort eine Quardatzahl mit n steht: \(n^2+58n+29^2-29^2=m^2\) bzw. \(29^2=(n+29)^2-m^2\). Da 29 eine Primzahl ist und wir o.B.d.A. annehmen können, dass \(n+m+29>n-m+29\), folgt, dass es nur eine Art der Faktorisierung gibt: \(29^2=n+m+29\) und \(1=n-m+29\). Lösung dieses LGS liefert \(n=392\) und \(m=420\).   ─   fix 13.04.2022 um 20:43
Ich habe systematisch probiert und noch andere Faktorisierungen probiert (Differenz zweier Quadrate) - die quadratische Ergänzung habe ich bis dahin jetzt auch verstanden, vielen Dank. Ich kam nur nicht auf den Gedanken mit 29 als „ entscheidende Primzahl“. Vielen Dank!   ─   integrallogarithmus 13.04.2022 um 20:46

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