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Hey,
du hast eine Funktion mit mehreren Veränderlichen/Variablen. Du musst also die Konzepte der mehrdimensionalen Analysis anwenden.
Ähnlich wie im eindimensionalen ist die notwendige Bedingung für Extrema/Sattelpunkte oder allg. kritische Punkte, dass die erste Ableitung gleich 0 ist.
Die erste Ableitung im mehrdimensionalen Fall kannst du durch den Gradienten bestimmen. Der Gradient ist der Vektor der partiellen Ableitungen.
Du musst also deine Funktion partiell nach x und nach y ableiten. Bei der partiellen Ableitung nach x musst du die Produktregel beachten, bei der Ableitung nach y musst du lediglich die e-Funktion ableiten. Schau dir dazu am besten nochmal an, wie man partiell ableitet.
Wenn du nun beide partiellen Ableitungen ermittelt hast, kannst du die notwendige Bedingung überprüfen:
\( \nabla f(x,y) = 0 \)
Die 0 ist dabei der Nullvektor (hier in 2 Dimensionen). Du bekommst also ein Gleichungssystem, welches du lösen musst, um die Punkte \( (x,y) \) zu bestimmen, für die die notwendige Bedingung erfüllt sind.
Ähnlich wie im eindimensionalen Fall musst du nun auch noch die hinreichende Bedingung überprüfen. Dafür benötigst du analog zum eindimensionalen Fall die zweite Ableitung, im mehrdimensionalen Fall ist das die Hesse Matrix.
Dafür leitest du einzelnen Funktionen innerhalb des Gradienten erneut jeweils partiell nach x und y ab. Das schreibst du dann in eine Matrix - die so genannte Hesse Matrix.
Anschließend kannst du deine kritischen Punkte, die du mit der notwendigen Bedingung bestimmt hast, in die Hesse Matrix einsetzen und musst dir dann die Definitheit der Matrix anschauen.
Ist die Matrix positiv definit, liegt ein Minimum vor. Ist sie negativ definit, dann ist der Punkt ein Maximum. Bei einer indefiniten Hesse Matrix liegt ein Sattelpunkt vor.
Wie du siehst, sind das einige verschiedene Konzepte, die du hier beachten musst und einige Schritte, die durchzuführen sind.
Wenn du damit tiefgründe Probleme hast, dann solltest du dir noch einmal die theoretischen Grundlagen der von mir erwähnten Punkte anschauen. Dafür kannst du deine Unterlagen oder z.B. Youtube Videos benutzen.
Wenn du alle Konzepte verstanden hast, dann solltest du den einzelnen Schritten auch folgen können und diese auf deine Funktion anwenden können.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
VG
Stefan
du hast eine Funktion mit mehreren Veränderlichen/Variablen. Du musst also die Konzepte der mehrdimensionalen Analysis anwenden.
Ähnlich wie im eindimensionalen ist die notwendige Bedingung für Extrema/Sattelpunkte oder allg. kritische Punkte, dass die erste Ableitung gleich 0 ist.
Die erste Ableitung im mehrdimensionalen Fall kannst du durch den Gradienten bestimmen. Der Gradient ist der Vektor der partiellen Ableitungen.
Du musst also deine Funktion partiell nach x und nach y ableiten. Bei der partiellen Ableitung nach x musst du die Produktregel beachten, bei der Ableitung nach y musst du lediglich die e-Funktion ableiten. Schau dir dazu am besten nochmal an, wie man partiell ableitet.
Wenn du nun beide partiellen Ableitungen ermittelt hast, kannst du die notwendige Bedingung überprüfen:
\( \nabla f(x,y) = 0 \)
Die 0 ist dabei der Nullvektor (hier in 2 Dimensionen). Du bekommst also ein Gleichungssystem, welches du lösen musst, um die Punkte \( (x,y) \) zu bestimmen, für die die notwendige Bedingung erfüllt sind.
Ähnlich wie im eindimensionalen Fall musst du nun auch noch die hinreichende Bedingung überprüfen. Dafür benötigst du analog zum eindimensionalen Fall die zweite Ableitung, im mehrdimensionalen Fall ist das die Hesse Matrix.
Dafür leitest du einzelnen Funktionen innerhalb des Gradienten erneut jeweils partiell nach x und y ab. Das schreibst du dann in eine Matrix - die so genannte Hesse Matrix.
Anschließend kannst du deine kritischen Punkte, die du mit der notwendigen Bedingung bestimmt hast, in die Hesse Matrix einsetzen und musst dir dann die Definitheit der Matrix anschauen.
Ist die Matrix positiv definit, liegt ein Minimum vor. Ist sie negativ definit, dann ist der Punkt ein Maximum. Bei einer indefiniten Hesse Matrix liegt ein Sattelpunkt vor.
Wie du siehst, sind das einige verschiedene Konzepte, die du hier beachten musst und einige Schritte, die durchzuführen sind.
Wenn du damit tiefgründe Probleme hast, dann solltest du dir noch einmal die theoretischen Grundlagen der von mir erwähnten Punkte anschauen. Dafür kannst du deine Unterlagen oder z.B. Youtube Videos benutzen.
Wenn du alle Konzepte verstanden hast, dann solltest du den einzelnen Schritten auch folgen können und diese auf deine Funktion anwenden können.
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el_stefano
M.Sc., Punkte: 6.68K
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