Grenzwert von Folgen

Aufrufe: 410     Aktiv: 7 Monate her

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Es geht um folgende Aufgabe : n^4/3^n. n€N. Die Frage, wie zeige ich dass der Grenzwert =0 ist. 

gefragt 7 Monate, 1 Woche her
atideva
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 52

 

Es stimmt schon, aber worum es bei dieser Aufgabe bzw. dem Beweis war eine andere Idee.   ─   atideva 7 Monate, 1 Woche her

Worauf bezieht sich dieser Kommentar?   ─   digamma 7 Monate, 1 Woche her
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2 Antworten
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Wenn du vier mal L'Hospital anwendest, kommst du auf das Ergebnis

\(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^4}{3^n}=0\)

geantwortet 7 Monate, 1 Woche her
holly
Student, Punkte: 4.08K
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Ich habe heute nun von einem Kommilitonen, der mir mal wohl etwas zu schnell eine Lösung quasi diktiert hat. Die Lösung, die ich eigentlich verstehen wollte und zum guten Schluß von dem selben Kommilitonen nochmals ausführlich erklärt bekam. Es geht um dass Langzeitverhaeltnis der Folgenglieder. Dass ist die Beweis Idee   ─   atideva 7 Monate, 1 Woche her

Vielleicht sollte man auch noch ein Wort dazu sagen, warum man die Regeln von L'Hospital hier anwenden kann. Folgen sind ja nicht differenzierbar.   ─   peter12345 7 Monate, 1 Woche her

Darüber habe ich mir noch nie Gedanken gemacht, gibt es Grenzwerte, bei denen das problematisch werden könnte, wenn man n als reell betrachtet? Würde Stetigkeit da als Kriterium reichen?
Übrigens mit dem Satz von Stolz, der das Äquivalent bildet, kommt man auf die mathematisch korrekte Lösung.
  ─   holly 7 Monate, 1 Woche her

Ich vermute, dass man das hier trotzdem elementarer beweisen soll.   ─   digamma 7 Monate, 1 Woche her

Angenommen sie hatten in der Vorlesung, dass Exponentialfunktionen schneller wachsen als jedes Polynom, dann wäre das schon geklärt.   ─   holly 7 Monate, 1 Woche her

Der Gedanke bei dem Beweis ist es, dass Langzeitverhaeltnis zw. den Folgengliedern zu untersuchen. Bei der Folge n^4/3^n, also wie gross ist s'^n+1/an im Verhältnis. Da dass Verhältnis der exponential Funktion von 1/2n+1 zu 1/3offenbar einfach zu errechnen sei ist, ich weiß allerdings nicht wie. Den Beweis hat mir mittlerweile ein Kommiliton zwar erklärt. So ganz begriffen habe ich dass aber noch nicht. Es geht mir jetzt darum, wie auf dieses Verhältnis 1/3 komme   ─   atideva 7 Monate, 1 Woche her
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Das wenige, das du schreibst, deutet daraufhin, dass man aufeinanderfolgen Folgenglieder vergleicht, indem man `a_(n+1)/a_n` betrachtet. Wenn dieses Verhältnis kleiner ist als eine Zahl `q` zwischen 0 und 1, dann ist `a_n \le a_0 q^n` und geht gegen 0, weil die Folge `q^n` gegen 0 geht.

Betrachten wir also `a_(n+1)/a_n`. Nach Definition gilt

`a_(n+1)/a_n = (n+1)^4/3^(n+1)*3^n/n^4 = ((n+1)/n)^4*3^(n+1)/3^n = (1+1/n)^4 * 1/3`.

Wenn `n` groß genug ist, z.B. `n ge 4`, ist

`a_(n+1)/a_n = (1+1/n)^4 * 1/3 le (1+1/4)^4*1/3 = (5/4)^4 * 1/3 = 625/768 = q < 1`

geantwortet 7 Monate, 1 Woche her
digamma
Lehrer/Professor, Punkte: 7.66K
 

Danke für die Antwort. Ich denke das war es. Ich muss mir dass jetzt noch verinnerlichen.   ─   atideva 7 Monate her

Das ist so, wie bei exponentiellem Zerfall. Da geht es auch asymptotisch für immer größere Werte gegen 0   ─   derpi-te 7 Monate her
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