Grenzwert von Folgen

Aufrufe: 1185     Aktiv: 14.06.2020 um 21:32
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Es geht um folgende Aufgabe : n^4/3^n. n€N. Die Frage, wie zeige ich dass der Grenzwert =0 ist. 

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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 139

 
Es stimmt schon, aber worum es bei dieser Aufgabe bzw. dem Beweis war eine andere Idee.   ─   atideva 13.06.2020 um 19:11
Worauf bezieht sich dieser Kommentar?   ─   digamma 13.06.2020 um 19:31
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Wenn du vier mal L'Hospital anwendest, kommst du auf das Ergebnis

\(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^4}{3^n}=0\)

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Ich habe heute nun von einem Kommilitonen, der mir mal wohl etwas zu schnell eine Lösung quasi diktiert hat. Die Lösung, die ich eigentlich verstehen wollte und zum guten Schluß von dem selben Kommilitonen nochmals ausführlich erklärt bekam. Es geht um dass Langzeitverhaeltnis der Folgenglieder. Dass ist die Beweis Idee   ─   atideva 12.06.2020 um 20:44
Vielleicht sollte man auch noch ein Wort dazu sagen, warum man die Regeln von L'Hospital hier anwenden kann. Folgen sind ja nicht differenzierbar.   ─   peter12345 12.06.2020 um 23:24
Darüber habe ich mir noch nie Gedanken gemacht, gibt es Grenzwerte, bei denen das problematisch werden könnte, wenn man n als reell betrachtet? Würde Stetigkeit da als Kriterium reichen?
Übrigens mit dem Satz von Stolz, der das Äquivalent bildet, kommt man auf die mathematisch korrekte Lösung.   ─   holly 13.06.2020 um 00:22
Ich vermute, dass man das hier trotzdem elementarer beweisen soll.   ─   digamma 13.06.2020 um 10:29
Angenommen sie hatten in der Vorlesung, dass Exponentialfunktionen schneller wachsen als jedes Polynom, dann wäre das schon geklärt.   ─   holly 13.06.2020 um 11:12
Der Gedanke bei dem Beweis ist es, dass Langzeitverhaeltnis zw. den Folgengliedern zu untersuchen. Bei der Folge n^4/3^n, also wie gross ist s'^n+1/an im Verhältnis. Da dass Verhältnis der exponential Funktion von 1/2n+1 zu 1/3offenbar einfach zu errechnen sei ist, ich weiß allerdings nicht wie. Den Beweis hat mir mittlerweile ein Kommiliton zwar erklärt. So ganz begriffen habe ich dass aber noch nicht. Es geht mir jetzt darum, wie auf dieses Verhältnis 1/3 komme   ─   atideva 13.06.2020 um 20:25

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Das wenige, das du schreibst, deutet daraufhin, dass man aufeinanderfolgen Folgenglieder vergleicht, indem man `a_(n+1)/a_n` betrachtet. Wenn dieses Verhältnis kleiner ist als eine Zahl `q` zwischen 0 und 1, dann ist `a_n \le a_0 q^n` und geht gegen 0, weil die Folge `q^n` gegen 0 geht.

Betrachten wir also `a_(n+1)/a_n`. Nach Definition gilt

`a_(n+1)/a_n = (n+1)^4/3^(n+1)*3^n/n^4 = ((n+1)/n)^4*3^(n+1)/3^n = (1+1/n)^4 * 1/3`.

Wenn `n` groß genug ist, z.B. `n ge 4`, ist

`a_(n+1)/a_n = (1+1/n)^4 * 1/3 le (1+1/4)^4*1/3 = (5/4)^4 * 1/3 = 625/768 = q < 1`

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Danke für die Antwort. Ich denke das war es. Ich muss mir dass jetzt noch verinnerlichen.   ─   atideva 14.06.2020 um 21:29
Das ist so, wie bei exponentiellem Zerfall. Da geht es auch asymptotisch für immer größere Werte gegen 0   ─   derpi-te 14.06.2020 um 21:32

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