Rekursive sinus folge

Aufrufe: 89     Aktiv: 23.02.2024 um 23:08

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Ich habe an dieser Aufgabe ein Problem. Und zwar geht es um die rekursive folge .

$x_n:= \frac{sin(2x_{n-1})}{2}$ für $n \in \mathbb{N}$ mit $x_0 = 1$. Im ersten teil der aufgabe habe ich schon gezeigt, dass $0<\frac{sin(2x)}{2} < x$ für alle $x\in (0, \frac{\pi}{2})$

Ich soll nun zeigen, dass sie Konvergent ist und ihren Grenzwert bestimmen.

Meine Überlegung: Man muss die Monotonie und Beschränkteit zeigen für die Konvergenz. Für den Grenzwert habe ich mir folgendes überlegt:

Sei L der Grenzwert der rekursiven Folge, dann gilt:

$ L = \frac{sin(2L)}{2} $ nach umstellen hat man $ sin(2L) = 2L$

wodurch $L=0 $ sein muss. 

Nun zur beschränktheit. Da $x\in (0, \frac{\pi}{2})$ ist und  $x_0 = 1$, ist $sin(2x) $ im Intervall $ [0, sin(2)]$, dadurch gilt $ 0 < sin(2x) \leq sin(2) \Longrightarrow 0 < \frac{sin(2x)}{2} \leq \frac{sin(2)}{2}$. 

Jetzt zur Monotonie: 

Es gilt:

Da $x_n \geq 0 $ folgt

$x_{n+1} =  \frac{sin(2x_n)}{2} < \frac{2x_n}{2} = x_n$

Daher ist die Folge monoton fallend.

Da die Folge sowohl monoton fallend als auch beschränkt ist, konvergiert die Folge gegen 0.

Habe hier was vergessen oder wie könnte man die Formulierung anpassen?

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Achte auf die Ordnung: Man redet nicht vom Grenzwert bevor man die Konvergenz gesichert hat.
Man geht genau wie bei dieser Aufgabe vor https://www.mathefragen.de/frage/q/b809efa844/monotonie-und-grenzwert-einer-rekursiven-folge/
Insb. muss bei der Beschränktheit sorgfältig argumentiert werden. Du sagst "... da $x_0=1$...", aber $x_0$ kommt gar nicht mehr vor in der Argumentation. Auch Deine Monotonie geht so nicht. Siehe den link oben.
Und jetzt (nicht vorher!) kommt der Grenzwert. Da musst Du erstmal zeigen, dass $L=\frac{\sin (2L)}2$ nur die Lösung $L=0$ hat.
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