Beweis durch Widerspruch

Aufrufe: 577     Aktiv: 04.11.2020 um 22:25
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Hallo,

ich sitze vor folgendem Text und habe mit diesem Probleme:

Dies ist mein erster Beweis durch Widerspruch, das vorne weg.

Es soll bewiesen werden, dass die Wurzel aus 2 nicht zu den rationalen Zahlen gehört:

Ich verstehe alles bis Zeile 2 (2.Absatz). Wie kommt man da auf a (quer)? Wird da die Wurzel gezogen oder sowas? oder ersetzt man einfach b² durch a (quer) und wenn ja, warum ist dann die hochgestellte 2 beim a auf der anderen Seite weg?

Und auch danach, wie kommt man auf b(quer). 

Allgemein stelle ich mir die Frage, ob man auf so einen Beweis dann später mal alleine kommen muss? 

In der Hoffnung, dass es mir jemand erklären kann,

Viele Grüße

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Moin tab4mahir.

Aus \(a^2=2b^2\) wird gefolgert, dass \(a^2\) gerade ist. Wenn ein Quadrat \(a^2\) gerade ist folgt aber auch, dass \(a\) gerade ist. Es lässt sich also in der Form \(a=2\bar{a}\) darstellen. Es folgt also \(a^2=(2\bar{a})^2=4\bar{a}^2=2b^2\). Somit ist \(2\bar{a}^2=b^2\) woraus folgt, dass \(b\) gerade ist. Es lässt sich also auch in der Form \(b=2\bar b\) darstellen.

Jetzt ist die Frage an dich: Warum ist das überhaupt ein Widerspruch?

 

Grüße

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Student, Punkte: 9.96K

 
Hi,

erstmal danke für die Antwort, jetzt ist es mir klar ;D

(kann es sein, dass du in der 2.Zeile am Ende [Somit ist...] bei 2a(quer) =b² die hochgestellte 2 bei a(quer) vergessen hast?)

Nun zum Widerspruch:

Die rationalen Zahlen sind definiert worden als teilerfremd. a(quer) und b(quer) sind beides gerade Zahlen.
Eine Gerade Zahl lässt sich allerdings immer durch 2 teilen, weshalb der Bruch a(quer)/b(quer) teilbar wäre, was unserer Voraussetzung widerspricht. Ergo gibt es keine Lösung der Gleichung r² = a/b mit in den rationalen Zahlen, richtig?

Viele Grüße   ─   physikstudent(1.s) 04.11.2020 um 21:59
Ja entschuldige, das \(^2\) fehlt. Das habe ich einmal behoben.
Deine Schlussfolgerung ist genau richtig, super!   ─   1+2=3 04.11.2020 um 22:02
Super, vielen Dank ;D   ─   physikstudent(1.s) 04.11.2020 um 22:25

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