Ich nehme an \(n\) ist die Raumdimension, also \(U\subseteq\mathbb{R}^n\)?
Fange damit an, zu zeigen, dass \(\partial^\alpha u\) eine Distribution ist für eine Distribution \(u\) auf \(U\). Für beliebiges, aber festes \(K\subseteq U\) musst Du geeignete \(C,N\) finden. Halte also \(K\) fest. Dann gibt es \(C_1,N_1\) für \(u\), so dass die Bedingung \[\forall\varphi\in C^\infty_{\mathrm{c}}(K)\colon|u(\varphi)|\le C_1\|\varphi\|_{C^{N_1}(K)}\] erfüllt ist. Zeige jetzt mit diesen Fakten, dass \(C_2,N_2\) existieren, so dass \[\forall\varphi\in C^\infty_{\mathrm{c}}(K)\colon|\partial^\alpha u(\varphi)|\le C_2\|\varphi\|_{C^{N_2}(K)}\] erfüllt ist.
Schreibe das mal auf; es ergibt sich ganz von alleine, was zu tun ist. Du musst nur die Definition von \(\partial^\alpha u\) einsetzen.
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