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Hallo!
Wie ermittelt man den Hauptnenner der folgenden Bruchgleichung? Ich komme da einfach nicht weiter, könnte jemand mir das erklären? Danke!

Aufgabe: 2x+1/x-4+x-2/x+4=18x/x²-16

Die Nenner sind ja x-4; x+4 und x²-16.

x² kann man zu (x+4)*(x-4) umformen.
x-4 und x+4 kann man nicht faktorisieren.

Wie kommt man von dieser Ausgangssituation auf den Hauptnenner?
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Schüler, Punkte: 76

 

Ich habe zudem noch eine Frage: Was erhält man, wenn man 4w(x-7)² auflöst?   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:10

=4w*(x^2-14x+49)
=4wx^2-56wx+196w
  ─   densch 24.03.2021 um 15:52

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2 Antworten
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Moin simplemaths.
Du hast schon richtig erkannt: \(x^2-16=(x+4)(x-4)\). Da du \(x^2-16\) mithilfe der anderen Nenner faktorisierenkannst, ist \(x^2-16\) der Hauptnenner.
\(4\omega(x-7)^2\) kannst du lösen indem du erst binomische Formel anwendest und dann ausmultiplizierst.

Grüße
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Student, Punkte: 8.88K
 

Moin 1+2+3, das w steht für Wurzel ;)   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:16

Also vier mal Wurzel aus x-7 und das ganze im quadrat.   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:18

Achso... Wurzel und Quadrat lösen sich gegenseitig auf, also....?   ─   1+2=3 24.03.2021 um 14:18

4*(x-7), also 4x-28?   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:21

Wenn man den ersten Bruch mit x²-16 multipliziert kommt (2x³+x³/x-4)-16 raus oder?   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:28

Zu deinem ersten Kommentar: Ja da kommt \(4(x-7)\) heraus, aber du musst auch den Fall betrachten, dass der Term, der quadriert wurde negativ ist. Also kommt auch \(-4(x-7)\) heraus. Du musst also eine Fallunterscheidung machen.

Zu deinem zweiten Kommentar: Nein, du multiplizierst falsch aus. Außerdem kannst du doch \(x^2-16\) in faktorisierter Form schreiben, dann kürzt sich da was raus.
  ─   1+2=3 24.03.2021 um 14:31

Also ergibt es bei dem ersten Bruch 3x+4?   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:35

Nein, wie kommst du da rauf? \(\dfrac{2x+1}{x-4}\cdot (x^2-16)= \dfrac{2x+1}{x-4}\cdot (x+4)\cdot (x-4 ) )=(2x+1)(x+4)\)   ─   1+2=3 24.03.2021 um 14:40

Wieso steht da (2x+1)(2+4)? Müsste da nicht stehen (2x+1)(x+4)?   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:42

Natürlich, da habe ich mich vertippt.   ─   1+2=3 24.03.2021 um 14:44

Achso, ich habe die Klammern nicht berücksichtigt. Klar, dann ergibt das ganze 2x²+9x+4, richtig?
  ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:44

Jo.   ─   1+2=3 24.03.2021 um 14:46

Somit ist die Lösung der Bruchgleichung L={4;1}.   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:49

Oh nein 4 natürlich nicht, es kann ja keine 0 im Nenner stehen   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:50

Also L={1}, passt auch mit der Probe.   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:50

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Ob eine Lösung stimmt kannst du immer überprüfen, indem du sie in die Gleichung einsetzt und schaust, ob eine mathematisch wahre Aussage übrig bleibt.   ─   1+2=3 24.03.2021 um 14:52

Ja, oder gleich die Definitionsmenge am Anfang angeben,   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:53

Genau, die Definitionsmenge schränkt die Lösungmenge u.U. ein.   ─   1+2=3 24.03.2021 um 14:54

Danke für die tolle Erklärung!   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:56

Und wenn man die Nenner x-3, x-8 und 5 hätte, wäre der Hauptnenner 5 oder x-10?   ─   simplemaths 24.03.2021 um 14:58

Nein, dann wäre der Hauptnenner \(5\cdot (x-3)\cdot (x-8)\). Die Nenner lassen sich ja nicht durch Faktorisierung durch die anderen Nenner darstellen.   ─   1+2=3 24.03.2021 um 15:03

Achso, ja klar! Habe es verstanden, danke!   ─   simplemaths 24.03.2021 um 15:07

Gerne :)   ─   1+2=3 24.03.2021 um 15:10

Wäre der Hauptnenner nicht (x-3) * (x-8)?   ─   simplemaths 24.03.2021 um 16:27

Das kannst du auch benutzen, aber dann verschwindet der Bruch mit der \(5\) im Nenner ja nicht.   ─   1+2=3 24.03.2021 um 16:28

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im Zweifelsfall kannst du als Hauptnenner einfach das Produkt aller Nenner nehmen :-)

 

Wie du schon gemerkt hast, ist hier aber x^2-16 bereits das Produkt der linken Nenner, sodass du das einfahc als Hauptnenner nehmen kannst.

 

 

Grundsätzlich wenn du das kleinmögliche Polynom als Hauptnenner haben willst, wird es dann schon schwieriger.

Das ist dann so eine Sache wie wenn du beim Addieren von normalen brüchen das KgV finden willst.

 

Grundsätzlich würde ich dir SEHR raten, bitte das Konzept von klammern einzuverleiben da ich das ohne die nicht als x/(x2-16)

sondern als (x/x^2)-16=1/x-16 aufgefasst hätte. Klammern sind manchmal sehr wichtig. auch wenn man sie für unwichtig hält :-)

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